[Перевод] Математически оптимальные рождественские печеньки
Чрезвычайно оптимальная форма для печенья Мартина Лерша.
Однажды в декабре норвежский химик и страстный любитель готовки Мартин Лерш раскатал самодельное тесто и приступил к работе. Он поворачивал форму для печенья то в одном, то в другом направлении, создавая лоскутки в виде рождественских ёлок. Но основной целью Лерша была не просто горка вкусного праздничного печенья. Он хотел испечь математически идеальные фигуры.
В течение предыдущих нескольких лет Лерш пытался решить проблему, часто терзающую пекарей. «Мы хотим наиболее оптимально использовать тесто, чтобы не приходилось собирать остатки и раскатывать их все заново. На самом деле это вопрос экономии времени», — говорит Лерш.
Лерш выбрал приготовление рождественского печенья в качестве проекта для своего блога Khymos, в котором он исследует химию и научную сторону готовки. Он обнаружил, что стандартные формы праздничного печенья обычно не очень плотно соединяются друг с другом. Пухлые Санты, карамельные палочки и пряничные человечки обычно оставляют много лишнего теста. Поставив перед собой задачу создания красивой, но при этом оптимальной формы для печенья, Мартин спроектировал форму, способную выдавливать красивые ряды печенек с минимум остатков теста. Как оказалось, его рождественскую ёлку можно тесселировать.
Тесселяции, получившие известность благодаря голландскому гравёру и художнику Морису Эшеру, являющиеся давней частью исламского искусства — это геометрические фигуры, идеально соединяющиеся между собой. (Для примера можно вспомнить мозаику, фрагменты пазлов или тесно упакованные фигуры «Тетриса».) Многие из таких тесселяций повторяются снова и снова, подобно рисункам на обоях, а при взгляде издалека ошеломляют.
Лерш решил спроектировать форму для печенья, способную превратить раскатанное тесто в тесселированную плоскость, то есть чтобы между фигурками не оставалось пространства. Эшер когда-то написал, что находит в сложности этих странных паттернов «большое удовольствие», поскольку они способны «смешивать два и три измерения». И тесселяции действительно давно сбивали с толку и величайшие умы математики, и самые сложные алгоритмы.
В течение предыдущих нескольких лет Лерш экспериментировал с дизайном форм.
Готовка печенья не похожа на то, как будто вы придумываете уравнение на тесте, но, согласно a недавнему исследованию, с точки зрения математики это именно так. Ведущий автор статьи, математик Копенгагенского университета Миккель Абрахамсен, изучает задачу об упаковке. С этой задачей ежедневно сталкиваются предприятия и дизайнеры, когда вычисляют, как уместить максимальное количество объектов в ограниченное пространство. Как можно понять, задача об упаковке влияет на всё, от транспортной отрасли до хранения специй в кухонном шкафу.
Абрахамсен специализируется на изучении того, как алгоритмы можно выражать в геометрической форме — именно это и происходит, когда вы вдавливаете форму для печенья в двухмерный холст теста. «Мы хотели доказать, что при решении подобных задач об упаковке необходимо решать очень сложные уравнения», — рассказывает Абрахамсен.
Команда Абрахамсена утверждает, что задача об упаковке — это R-полное уравнение, делающее дальнейший шаг в сложности за пределы нестепенных уравнений, долгое время изучавшихся компьютерными учёными. Сложность задачи частично связана с количеством возможных вариантов. По словам Абрахамсена, чтобы решить задачу оптимальной упаковки — тесселяции, занимающей максимально возможное пространство раскатанного теста, нужно заранее знать идеальное расположение каждого отдельного печенья. Однако проблема в том, что существует бесконечное количество способов размещения печенек на листе теста. Плюс при каждом вырезании формой пространство для новых печений уменьшается. Без помощи компьютерной программы вы поймёте уровень оптимальности своей упаковки, только когда кончится место. «Для поиска наилучшего решения вам потребуется бесконечное количество попыток», — утверждает Абрахамсен.
Эти тесселированные плитки в дворцовом комплексе Альгамбра стали источником вдохновения для Эшера.
Однако это не остановило Лерша, создавшего собственные тематические рождественские тесселяции из колокольчиков, ёлок и других фигур при помощи бесплатной платформы Tess. Друг помог ему напечатать на 3D-принтере несколько форм для печенья, после чего он замесил тесто. Любимое «пепперкаке» (pepperkake) Лерша — это великолепное норвежское имбирное печенье. Работающий химиком Лерш рассказал, что когда-то оно изготавливалось с карбонатом аммония из толчёных оленьих рогов, однако сегодня большинство людей заменяет его разрыхлителем для теста.
Остановившись на рождественской ёлке как на наиболее оптимальной фигуре, Мартин приступил к работе. Подражая узорам Эшера, он расставлял каждую вторую фигуру вниз головой, чтобы их границы идеально совпадали с соседними фигурами. В результате получились переплетённые ряды печенек, между границами которых нет остатков теста.
Однако даже при использовании формы Лерша куски теста остаются по краям паттерна. Именно об этом несовершенстве предупреждал Абрахамсен: существует слишком много переменных при создании формы для печенья сложного контура, чтобы она целиком и каждый раз использовала всё тесто. Для максимизации эффективности можно упростить форму печенек: например, квадратные печенья, вырезаемые из квадратного куска теста. Но, как говорит Лерш, «Кому интересно квадратное печенье?»
Ещё одна форма Лерша — эффективная, но гораздо менее праздничная.
Абрахамсен утверждает, что в случае сложных фигур наподобие рождественских ёлок, нахождение одного наиболее эффективного способа их расположения на плоскости теста на сегодняшний день является нерешаемой задачей. В 1999 году алгоритм был способен решать задачу об упаковке только для квадратного контейнера, содержащего до четырёх объектов (простых восьмиугольников), и для полных расчётов программе требовалось 24 часа. При добавлении в уравнение каждого нового многоугольника алгоритму становилось всё сложнее решать задачу, потому что становится труднее упаковать объект в контейнер, когда пространство уже занято. Насколько известно Абрахамсену, с тех пор не было найдено более быстрого алгоритма.
Однако готовка не всегда заключается в стремлении к совершенству. Нужно поддерживать любые попытки создания наиболее оптимального способа разрезания праздничных печений. «Я бы посоветовал людям пробовать это, ради самого удовольствия решения головоломки», — говорит Миккель. «Об этом полезно размышлять, но не стоит при этом ожидать нахождения оптимального решения».
Лерш согласен с тем, что в настоящее время может и не существовать способа создания математически идеальной партии праздничного печенья. Миру придётся подождать ещё более подходящей фигуры, чем его ёлка (которую друг Лерша несколько лет назад выложил онлайн для свободного скачивания. Счастливого Рождества!) Но он всё равно призывает печь тесселяции, пусть даже для собственного развлечения. «Если это позволит кому-то избавиться от страха математики или естественных наук, то так даже лучше».
На правах рекламы
Вдсина поздравляет всех с Новым Годом! Пускай 2021 приносит только хорошее, а всякого рода неприятности и ковиды остаются в старом году!
Абсолютно всегда наши виртуальные серверы работают безупречно и без сбоев. Используем исключительно брендовое оборудование, лучшую в своём роде панель управления серверами собственной разработки и одни из лучших дата-центров в России и ЕС. В Новом Году порадуем множеством приятных сюрпризов.
