[Перевод] Как работает поле Хиггса: 1) основная идея

Если вы читали мою серию статей про физику частиц и полей, вы знаете, что все т.н. «элементарные частицы» на самом деле — кванты (волны, чья амплитуда и энергия минимально допустимые квантовой механикой) релятивистских квантовых полей. Такие поля обычно удовлетворяют уравнениям движения класса 1 (или их обобщению) вида

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi \nu_{min})^2 (Z - Z_0) $

Где Z (x, t) — поле, Z0 — равновесное состояние, x — пространство, t — время, d2Z/dt2 представляет изменение по времени изменения по времени Z (d2Z/dx2 — то же для пространства), c — универсальное ограничение скорости (часто называемое «скоростью света»), а νmin — минимально допустимая частота для волны в поле. Некоторые поля удовлетворяют уравнению класса 0, которое представляет собой просто уравнение класса 1, в котором величина νmin нулевая. У кванта такого поля масса

$ m = h \nu_{min} / c^2 $

Где h — постоянная Планка. Иначе говоря,

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 m^2 (Z - Z_0) $


Всё это верно лишь до определённого предела. Если бы все поля удовлетворяли уравнениям класса 0 или класса 1, во Вселенной ничего бы не происходило. Кванты бы просто летали друг мимо друга и ничего не делали. Ни рассеяния, ни столкновений, ни формирования таких интересных вещей, как протоны или атомы. Так что давайте введём распространённое, интересное и требуемое согласно экспериментам дополнение.

Представим себе два поля, S (x, t) и Z (x, t). Представьте, что уравнения движения для S (x, t) и Z (x, t) будут изменёнными вариантами уравнений класса 1 и 0 соответственно, то есть, частицы S будут массивными, а частицы Z — безмассовыми. Пока предположим, что равновесные значения S0 и Z0 нулевые.

$ d^2S/dt^2 - c^2 d^2S/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 m_S^2 S \\ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = 0 $

Усложним уравнения образом, повсеместно присутствующим в реальном мире. Конкретно, в них присутствуют дополнительные члены, в которых S (x, t) перемножается с Z (x, t).

$ d^2S/dt^2 - c^2 d^2S/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 (m_S^2 S + y^2 S Z^2) \\ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 y^2 S^2 Z $

Напомню, что S и Z служат сокращением для S (x, t) и Z (x, t), меняющихся в пространстве и времени. Всё остальное (c, h, y, mS) — константы, не зависящие от пространства и времени. Параметр у — число, обычно между 0 и 1, называемое «параметром Юкавы» по историческим причинам.

Почти во всех случаях в физике частиц отклонения полей S (x, t) и Z (x, t) от их равновесных состояний S0 и Z0 чрезвычайно малы. Поскольку мы предполагаем, что S0=0 и Z0=0, это значит, что S и Z сами по себе малы: у любых волн в S и Z будут малые амплитуды (обычно они будут состоять из одного кванта) и хотя спонтанные квантовые возмущения происходят постоянно (их часто называют виртуальными частицами и описывают в статьях о частицах и полях как квантовую дрожь), эти возмущения также малы по амплитуде (хотя иногда очень важны). Если S — мало, Z — мало, тогда S Z реально мало. Поскольку у невелико, то члены y2 S Z2 и y2 S2 Z достаточно малы, чтобы во многих случаях их можно было игнорировать.

Конкретно их можно игнорировать при подсчёте массы «частиц» (то есть, квантов) S и Z. Чтобы понять, что собой представляет частица S, нам нужно рассмотреть волну S (x, t), считая при этом Z (x, t) очень малой. Чтобы понять, что собой представляет частица Z, нам нужно рассмотреть волну Z (x, t), считая при этом S (x, t) очень малой. Как только мы проигнорируем дополнительные члены y2 S Z2 и y2 S2 Z, оба поля S и Z будут удовлетворять простым уравнениям движения класса 0 или 1, с которых мы и начали, из которых мы выводим, что у частицы S масса равна mS, а у частицы Z масса равна нулю.

Теперь представьте мир, в котором Z0 равно нулю, а S0 — нет. Мы немного меняем уравнения:

$ d^2S/dt^2 - c^2 d^2S/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 (m_S^2 [S - S_0] + y^2 S Z^2) \\ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 y^2 S^2 Z $

Опять-таки, S и Z — функции от пространства и времени, но всё остальное, включая S0, константы. В таком случае Z (x, t) очень мало, но S (x, t) — нет! В таких случаях полезно бывает записать

$ S(x,t) = S_0 + s(x,t) $

Где s — вариация S от равновесного состояния S0. Мы можем сказать, что s (x, t) — сдвинутая версия поля S (x, t). Утверждение о том, что поля в физике частиц большую часть времени остаются вблизи своих равновесных состояний эквивалентно тому, что s (x, t) очень мало, а не тому, что S (x, t) очень мало. Подставляя последнее уравнение в набор двух уравнений для S и Z, и помня, что S0 — константа, поэтому d S0/dt = 0 и dS0/dx = 0, мы получим:

$ d^2s/dt^2 - c^2 d^2s/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 (m_S^2 s + y^2 [S_0 + s] Z^2) $

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 y^2 [S_0 + s]^2 Z = - (2 \pi c^2/h)^2 y^2 (S_0^2 + 2 s S_0 + s^2) Z $

Как и раньше, если нам нужно узнать массы квантов полей S и Z, мы можем отбросить любой член уравнений, в котором содержится перемножение двух или более малых полей — члены вроде Z2 или s Z2 или sZ или s2Z. Давайте посмотрим, что останется, если мы оставим только члены, в которые входит только одно поле:

$ d^2s/dt^2 - c^2 d^2s/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 m_S^2 s + … $

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 y^2 S_0^2 Z + … $

(»+ …» напоминает нам о том, что мы кое-что исключили). Уравнение для поля s не сильно изменилось, поскольку все новые члены, y2[S0+s]Z2 содержат по меньшей мере две степени Z. Но в уравнении для поля Z мы не можем игнорировать член y2[S0+s]2Z, поскольку в нём содержится член вида y2S02Z, содержащий только одно поле. Следовательно, хотя квант поля S всё ещё удовлетворяет уравнению класса 1 и обладает массой mS, квант поля Z уже не удовлетворяет уравнению класса 0! Он теперь удовлетворяет уравнению класса 1:

$ d^2Z/dt^2 – c^2 d^2Z/dx^2 = - (2 \pi c^2/h)^2 y^2 S_0^2 Z $

Следовательно квант поля Z теперь обладает массой!

$ m_Z = y S_0 $

Из-за простых взаимодействий полей S и Z с силой y, ненулевое значение равновесия S0 для поля S придаёт кванту Z массу, пропорциональную y и S0.

Ненулевое значение поля S придало массу частице поля Z!

Мелкий шрифт: даже если по какой-то причине масса mZ частицы Z изначально была ненулевой, тогда масса частицы Z сдвинется.

$ m_{Z_{new}} = [m_Z^2 + y^2 S_0^2]^{1/2} $

(напомню, что x1/2 означает то же самое, что √x).

Вот так, по сути, поле Хиггса H (x, t) и придаёт массу частицам. Оказывается, что для всех известных частиц σ (кроме самой частицы Хиггса) уравнение движения для соответствующего ей поля Σ (x, t) — это уравнение класса 0, что, на первый взгляд, говорит о том, что частица σ безмассовая. Однако в уравнениях движения у многих таких полей существуют дополнительные члены, включая и член вида

Well, this is basically how the Higgs field H (x, t) gives mass to particles. It turns out that for each known particle σ [except the Higgs itself], the equation of motion for its corresponding field Σ (x, t) is a Class 0 equation, which naively would imply the σ particle is massless. But for many of these fields there are extra terms in the equation of motion, including a term of the form

$ y_\sigma^2 [H(x,t)]^2 \Sigma(x,t) $

Где yσ — параметр Юкавы, свой для каждого поля, обозначающий силу взаимодействия между полями H и Σ. В таких случаях ненулевое среднее значение поля Хиггса H (x, t) = H0 сдвигает минимальную частоту волн Σ, а, следовательно, и массу частиц σ, от нуля до ненулевого значения: $ m_\sigma = y_\sigma H_0 $. Разнообразие параметров Юкавы для различных полей природы приводит к разнообразию масс среди «частиц» (точнее, квантов) природы.

Обратите внимание, что частица Хиггса не имеет к этому никакого отношения. Частица Хиггса — квант поля Хиггса — рябь минимальной энергии в H (x, t), небольшая волна, зависящая от пространства и времени. Массу другим известным частицам природы придаёт ненулевая константа равновесия поля Хиггса, H (x, t) = H0, простирающегося по всей Вселенной. Эта вневременная и вездесущая константа очень отличается от частиц Хиггса, представляющих собой рябь, меняющуюся в пространстве и времени, локализованную и эфемерную.

Такова основная идея. В этой статье я не раскрыл множество очевидных вопросов — почему в уравнениях обязательно будут члены, включающие произведения двух или более полей (о важности этих членов можно почитать тут)? Почему известные частицы были бы безмассовыми, если бы не было поля Хиггса? Почему у поля Хиггса равновесное значение ненулевое, хотя это не так для большинства остальных полей? Как ко всему этому относится частица Хиггса? В следующих статьях я постараюсь раскрыть эти и другие темы.

© Geektimes