[Перевод] Как представлять себе дополнительные измерения: одномерные миры
Когда я разговариваю с далёким от физики человеком о возможных дополнительных измерениях пространства, нам неизвестных, то один из самых частых задаваемых мне вопросов — это: «Как вы представляете себе дополнительные измерения? Я могу представить себе только три, и не понимаю, как можно идти дальше; для меня это бессмысленно».
Чем мы, физики, не занимаемся (по крайней мере никто из моих знакомых не утверждал, что занимается этим), так это не представляем себе дополнительные измерения. Мой мозг ограничен точно так же, как ваш, и хотя этот мозг легко создаёт трёхмерное изображение мира, в котором я могу двигаться, я не могу заставить его представить изображение четырёх- или пятимерного мира, как и вы. Моё выживание не зависело от возможности представлять что-либо подобное, так что, возможно, и неудивительно, что мой мозг на это не настроен.
Я вместо этого (и, судя по нашему обменами идеями, большая часть моих коллег тоже) разрабатываю интуицию на основе комбинации из аналогий, трюков с визуализацией и расчётов. Расчёты мы здесь опустим, но многие аналогии и трюки не так уж сложно объяснить.
Размышлениям о дополнительных измерениях можно научиться в два этапа.
1. Простой этап — научиться представлять или описывать мир с дополнительными измерениями. Вам уже известно несколько способов для этого, даже если вы это и не осознаёте — и вы можете выучить ещё немного.
2. Этап посложнее — научиться тому, как в мире с дополнительными измерениями всё работает. Как работать иглой в четырёх измерениях, а не в трёх; будут ли планеты двигаться по орбитам вокруг Солнца в шести пространственных измерениях; сформируются ли протоны и атомы? Тут вам нужно будет узнать незнакомые трюки, представляя различия между миром с только одним или двумя измерениями и трёхмерным, известным нам, миром, и работая по аналогии.
Так что начнём с того, что поможем вам представлять мир с дополнительными измерениями. Для этого нужно подумать о том, как вообще мы представляем любое измерение. Начнём с начала.
• Мир с нулём измерений — это точка. О нём сейчас мало что можно сказать, но мы к нему вернёмся.
• Одномерный мир уже довольно интересен.
• В двумерных мирах происходит гораздо больше интересного.
• Важно избежать путаницы между пространственными измерениями и более общего смысла слова «измерение» в обычном языке, а также в математике и статистике.
• И дальше последуют различные примеры дополнительных измерений, с упором на то, что именно значит «дополнительные», и как может быть, что в нашем мире существуют измерения, о которых мы ничего не знаем.
• Также мы рассмотрим, как именно можно обнаружить эти незаметные измерения.
Одномерные миры
Мир с одним пространственным измерением гораздо проще мира с тремя, но и в нём есть кое-что, о чём можно порассуждать. К примеру, существуют несколько видов одномерных миров. У них есть не только определённые общие свойства, но и интересные различия.
Для первого примера давайте рассмотрим измерение не как физическое, а как более общее понятие. Это поможет вам во многих смыслах, например, отвлечёт вашу интуицию от естественных заблуждений по поводу того, что такое измерения и как они работают. Давайте поговорим о годовом заработке — сколько денег получает человек за определённый год. Это такое же подходящее для изучения измерение, как и все остальные.
Доходное измерение
Ваш доход за прошлый год — это определённое число в вашей местной валюте. Он может быть положительным или отрицательным, большим или маленьким; его можно представить как точку на линии, как на рис. 1, которую мы будем называть «точкой дохода». Каждая точка на линии представляет возможный доход.
Рис. 1: доходная линия бесконечной длины, левая часть которой представляет убытки, правая — доходы.
Что делает годовой доход одномерным свойством, так это (очень грубо говоря) следующее:
• Положение в пространстве обозначается одой единицей информации: в нашем случае, доходом.
Также заметьте, что он непрерывен (или практически непрерывен) — если у двух людей разные доходы А и В, мы можем найти третьего, чей доход находится между А и В.
Два этих факта подразумевают, что доход может меняться непрерывно по доходной линии, перемещаясь вправо или влево — либо к более высокому, либо к более низкому доходу. Иных вариантов нет.
Конечно, доходная линия не имеет ничего общего с физическим пространством, в котором мы с вами можем гулять, но это всё равно измерение. И (по крайней мере, в принципе) у него нет окончания ни в одной из сторон: нет (в принципе) ограничений на то, сколько денег человек может заработать или потерять за год. Этот одномерный мир не такой уж и разнообразный, но всё равно мы можем задать о нём несколько осмысленных вопросов:
• Как распределяются в США ежегодные доходы?
• Какой средний годовой доход в Японии?
• Как ответы на эти вопросы меняются со временем?
Эти вопросы приобретают смысл в одномерном мире доходной линии.
Радужное измерение
А вот ещё один, совсем другой мир. Единое измерение формируют цвета радуги, от красного, через оранжевый, к жёлтому, оттуда к зелёному, [голубому], синему и к фиолетовому [у англоговорящих людей шесть цветов в радуге, они не выделяют голубой / прим. перев.]. С этой точки зрения цвета формируют одномерный мир конечного размера. За пределами красного или фиолетового цвета есть невидимые формы цветов, но с точки зрения ваших глаз измерение заканчивается на них. Теперь оно представлено не в виде бесконечной линии, но в виде отрезка — «радужной линии» на рис. 2. Просьба не путать его с цветовым колесом — если оно замкнутое, то наше измерение начинается с красного цвета и заканчивается на фиолетовом. И вновь положение на радужной линии определяется одной единицей информации (цветом), и оно непрерывно.
Рис. 2
Это, очевидно, также не измерение физического пространства! Можно бросить мячик из вашего дома в дом вашего соседа, но нельзя представить, как вы бросаете мячик из зелёного в оранжевое — это не имеет смысла. И всё равно это тоже будет измерение. Здесь можно задать множество осмысленных вопросов: как двигается цвет яблока по радужной линии в процессе превращения яблока из зелёного в красное? Сколько в солнечном свете каждого из цветов? Если оранжевая звезда начнёт превращаться в красную, станет ли она сначала жёлтой?
Измерение направления ветра
А вот третий вариант измерения, и опять другой. Если послушать прогноз погоды, то вам скажут, что ветер скоро начнёт дуть с севера, или с северо-запада, или с юго-запада. Возможные направления ветра — это тоже измерение. Обратите внимание, что это не пространственное измерение! В этом измерении нельзя бросить мячик так, как вы бросаете его вверх, влево или вперёд. Это измерение направлений в пространстве!
Рис. 3
Как можно представить это измерение? Для этого есть по меньшей мере два естественных способа, показанных на рис. 3. Один использует отрезок — «эолову линию» (Эол — полубог, властитель воздушных стихий у Древних греков) —, но эолова линия отличается от радужной линии своей периодичностью. Направление ветра может меняться с северного на восточное, потом на южное, потом на западное, и потом опять на северное, непрерывно. И в нашем представлении линию можно разрезать где угодно — сравните две линии наверху рис. 3, которые одинаково хорошо представляют эолову линию. Суть в том, что ветер может переходить с правого конца линии сразу на левый конец, и наоборот, поэтому всё равно, где её разрезать. Или, возможно, легче всего представлять эту периодическую линию в виде круга. Именно это мы и делаем с компасом или флюгером!
Три разных одномерных мира
И вот вам одномерные миры. Посмотрите, насколько они богаты деталями! Разные размеры, разные свойства. На линии дохода доход может расти или уменьшаться вечно. На радужной линии ваши глаза могут перемещаться только до фиолетового, или же в другую сторону, только до красного. А на эоловой линии ветер может совершать полный круг сколько угодно —, но при этом он всё время будет возвращаться на одно из направлений.
Эти разновидности одномерных миров — бесконечный, конечный, и конечно-периодический, представленные бесконечной линией, отрезком и кругом — базовые ингредиенты для понимания миров высших измерений. Я буду обращаться к ним ещё не раз. На рис. 4 представлены они, а также и четвёртый тип, простирающийся бесконечно только в одном направлении. Примером такого измерения может быть температура: она может быть сколь угодно большой, но существует минимально возможная температура — абсолютный ноль — поэтому температура образует линию, начинающуюся в абсолютном нуле и идущую оттуда вверх, но не вниз.
Рис. 4
Как изображать измерения, пространственные и прочие
Я вскользь упоминал или использовал несколько разных методов представления измерений. Доход можно представлять числом или бесконечной линией. Видимую радугу можно представить как отрезок, или как цвет, а также использовать число — длину волны фотонов, соответствующую определённому цвету. Направление ветра можно представлять кругом, или отрезком, чей левый конец соединён с правым — или словами типа север, восток, юг, запад — ила числом, определяющим направление в градусах, идущим от 0 до 360 и обратно на 0. То, что мы можем представлять одно измерение множеством разных способов даёт нам огромную гибкость для тренировки интуитивной работы с дополнительными измерениями.
Для иллюстрации этих видов измерений я выбрал понятия, никак не связанные с физическим пространством — доход, цвет радуги, направление ветра — чтобы показать, что пространственные измерения представляют собой конкретные примеры более общей концепции измерения. Понимание этого факта сильно облегчает попытки представить миры с количеством измерений более трёх. Помните, я упоминал две части процесса обучения мышлению о дополнительных измерениях? Во-первых, научитесь их представлять; во-вторых, поймите, как в них всё устроено и работает. У пространственных измерений есть особенности, связанные с тем, как некоторые вещи в них работают, но не с их представлением.
Пространственные миры с одним эффективным измерением
Учитывая всё это, рассмотрим регулярно встречаемые нами пространственные миры с одним эффективным измерением. Или, точнее, такие ситуации, в которых определённый аспект нашего мира ведёт себя так, как будто у пространства есть только одно измерение. Тогда мы говорим, что мир для определённых участников или объектов становится эффективно одномерным.
Рис. 5
Представьте себе канатоходца, балансирующего на высоко расположенном канате. Мир канатоходца эффективно одномерный (хотя он, конечно, на самом деле остаётся трёхмерным), поскольку он не способен безопасно двигаться в любом направлении, отличном от справа налево или слева направо. Этот мир похож на радужный мир — он конечен по длине, и когда канатоходец доходит до конца, ему надо развернуться и идти обратно (или сойти с каната, закончив ситуацию, в которой мир становится эффективно одномерным). Что ещё можно сказать? Положение на канате можно определить одной единицей информации (например, расстоянием от левого шеста до канатоходца). Два канатоходца могут встретиться на одной линии, но не пройти мимо друг друга.
Мы можем превратить мир каната в эолову линию, замкнув его в круг (рис. 6). В нём два канатоходца тоже не могли бы пройти мимо друг друга — это основное свойство одномерных миров. И это всё ещё было бы конечное измерение. Но канатоходец в такой ситуации уже мог бы ходить по кругу непрерывно и бесконечно, не останавливаясь.
Рис. 6
Другие известные нам (эффективно) одномерные миры:
• Узкая дорога — одномерный мир для автомобилей;
• Узкая тропа с обрывом — для карабкающегося в гору туриста;
• Этажи высотного здания — для лифта.
В целом мир остаётся трёхмерным, но для описания автомобилей, туриста или лифта необходимо представлять только одно измерение.
В дальнейшем помните: мы живём в кажущемся трёхмерном мире, и всё, что мы встречаем, кажется нам трёхмерным. Но иногда наш трёхмерный мир (точнее, его часть) может вести себя как эффективно одномерный, или двумерный (можете ли вы придумать примеры?) или даже нольмерный! (Каждый, кому не повезло когда-нибудь застрять в пробке, которая никуда не двигается, знает, каков этот мир с нулём измерений!) Эта интуиция позже будет нам очень полезной.
