[Перевод] Чудесное совпадение или ожидаемая связь: почему π в квадрате примерно равно g
Давайте ненадолго вернёмся в школьные годы и вспомним некоторые уроки математики и физики. Помните ли вы, чему равно число π? А чему равен квадрат π? Это тоже странный вопрос. Конечно, это 9,87. А помните ли вы значение ускорения силы тяжести g? Конечно, это число вбито в нашу память так основательно, что забыть его невозможно: 9,81 м/с². Естественно, оно может меняться, но для решения элементарных школьных задач мы обычно использовали именно это значение.
Загадочное равенство
А теперь следующий вопрос: как получилось, что π² примерно равно g? Вы можете сказать, что такие вопросы не задают в приличном обществе. Во-первых, они не совсем равны. Разница есть уже во втором знаке после запятой. Во-вторых, π — это безразмерное число, а g — физическая величина со своими единицами измерения.
И всё же, как ни посмотри, это не может быть простым совпадением.
Не всё так просто, как кажется
Для начала давайте внимательно посмотрим на правую часть. Значение 9,81 выражено в м/с². Но это далеко не единственные единицы измерения. Если выразить это значение в любых других единицах, магия тут же исчезнет. Значит, это не совпадение — давайте углубимся в метры и секунды.
Что же такое «метр» и как он может быть связан с π? На первый взгляд, совсем нет. Согласно Википедии, «метр — это расстояние, которое свет проходит в вакууме за промежуток времени в 1/299 792 458 секунды». Отлично, теперь мы имеем дело с секундами — хорошо! Но про π по-прежнему ничего не сказано.
Минуточку, почему именно 1/299,792,458? Почему не, например, 1/300? Откуда вообще взялось это число? Похоже, чтобы лучше понять это, нам нужно углубиться в историю самой единицы длины.
Стандарт для каждого честного торговца
В прошлом люди не особо беспокоились о стандартах: их интересовало только то, что удобно для измерения. Например, почему бы не измерять длину в человеческих локтях? Может быть, это и не точно, но зато дёшево, надёжно и практично. А то, что локти у всех были разной длины? Иногда это было даже полезно. Если вам нужно было купить больше ткани, вы звали самого высокого человека в деревне и просили его измерить ткань своими локтями.
Позже, конечно, люди стали задумываться о стандартизации. Они начали создавать различные стандарты. Но это оказалось неудобно и громоздко: нельзя было постоянно обращаться к единому стандарту для измерения. Поэтому стали появляться копии стандартов. А потом копии копий…
Серьёзные люди решили, что такой хаос мешает серьёзному делу, и задались целью: придумать такое определение единицы длины, которое не зависело бы ни от каких произвольных стандартов. Она должна зависеть только от природных констант, чтобы любой человек, обладающий базовыми инструментами, мог её воспроизвести и измерить.
Светлые мечты о стандартизации и коварной гравитации
Определение метра без стандартов было предложено ещё в XVII веке. Голландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс предложил использовать для этой цели простой маятник. Возьмите небольшой предмет и подвесьте его на нитке. Длина нити должна быть такой, чтобы маятник совершал полное колебание (возвращался в исходное положение) ровно за две секунды. Такая длина нити была названа «универсальной мерой» или «католическим метром». Эта длина отличалась от современного метра примерно на полсантиметра.
Предложение было хорошо встречено и принято. Однако вскоре возникли проблемы. Во-первых, Гюйгенс имел дело с тем, что он назвал «математическим маятником». Это «материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой струне». Материальная точка и невесомая нить — вряд ли простые инструменты, которые есть под рукой у каждого торговца.
Во-вторых, быстро выяснилось, что длина нити маятника в разных частях Земли неодинакова. Гравитация хитроумно уменьшалась по мере приближения к экватору и не способствовала светлой мечте человечества о стандартизации.
Удивительное уравнение
Но вернёмся к нашему загадочному уравнению. Чтобы найти период малых колебаний математического маятника в зависимости от длины подвеса, используется следующая формула:
И вот оно — наше π! Подставим в эту формулу параметры маятника Гюйгенса. Длина нити l в маятнике Гюйгенса равна 1. Т — колебаний равна 2. Подставляя эти значения в формулу, получаем π²=g.
Итак, нашли ли мы ответ на наш вопрос? Ну, не совсем. Мы уже видели, что это равенство лишь приблизительное. Не совсем правильно приравнивать 9,87 и 9,81. Значит ли это, что с тех пор метр изменился?
С революционным приветом из Франции
Да, действительно, изменился! Это произошло во время реформы единиц измерения, инициированной Французской академией наук в 1791 году. Умные люди предложили сохранить определение метра через маятник, но с уточнением, что это должен быть именно французский маятник — на широте 45° северной широты (примерно между Бордо и Греноблем).
Однако это не устроило комиссию, отвечавшую за реформу. Проблема заключалась в том, что глава комиссии Жан-Шарль де Борда был горячим сторонником перехода на новую (революционную) систему измерения углов — с помощью градов (град — это одна сотая часть прямого угла). Каждый град делился на 100 минут, а каждая минута — на 100 секунд. Метод секундного маятника не вписывался в эту стройную концепцию.
Истинный и окончательный метр
В конце концов, от секунд удалось избавиться и определить метр как одну сорокамиллионную часть Парижского меридиана. Или, по-другому, как одну десятимиллионную часть расстояния от Северного полюса до экватора по поверхности земного эллипсоида на долготе Парижа. Это измерение несколько отличалось от «маятникового» метра. Комиссия, без ложной скромности, назвала полученное значение «истинным и окончательным метром».
Идея универсального стандарта, доступного каждому, помахала на прощание рукой и канула в лету. Нужен точный стандарт для счётчика? Нет проблем! Достаточно измерить длину меридиана и разделить её на несколько миллионов. Кстати, французы действительно сделали это — они физически измерили часть Парижского меридиана, дугу от Дюнкерка до Барселоны. Они проложили цепочку из 115 треугольников через всю Францию и часть Испании. На основе этих измерений они создали латунный эталон. Кстати, они допустили ошибку — не учли сплющивание Земли с полярной стороны.
Вывод
Давайте ещё раз вернёмся к нашему уравнению. Теперь мы знаем, откуда взялась неточность: π² и g отличаются примерно на 0,06. Если бы не очередная попытка всё реформировать и улучшить, мы бы сейчас имели несколько иное значение метра и элегантное уравнение π² = g. Позже учёные всё же вернулись к определению метра через неизменные и воспроизводимые природные константы, но эталон метра уже не был прежним.
