[Из песочницы] Задачи тысячелетия. Просто о сложном
Привет, хабралюди! Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.
После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.
Равенство классов P и NPВсе мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P, для нее существует быстрый алгоритм решения, который и заучивается.Также существуют NP-задачи, найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера тот же перебор компьютером. Рассмотрим вышеприведенный пример с решением квадратного уравнения — решение есть и проверить его можно также быстро. Из этого напрашивается логичный вывод: NP-класс включает в себя P-класс. А вот в строгости этого включения и состоит вся проблема.
Другими словами неизвестно существует ли для всех NP-задач такой алгоритм, который позволял бы решать такие задачи точно так же как и проверять за достаточно быстрое (полиномиальное время) время? Для каких-то существует, а для каких-то его так и не нашли. Над решением этого вопроса бьются уже более 40 лет.
На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.
В данном случае задача состоит в том, а есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.Гипотеза Ходжа В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных объектов. Сейчас придуман подход, основная идея которого заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Ученые уже во всю применяют данную методику, но доказать ее справедливость, что любой, не важно на сколько сложный объект, можно сложить из более простых, пока не удается.Гипотеза Римана Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11…). С давних времен люди пытаются найти формулу, которая объясняла бы их распределение. За невозможностью найти такой, ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 — 2 простых числа, для 10 — уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.Теория Янга — Миллса Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Из уравнений Янга — Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, однако доказать их справедливость пока никто не смог.Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса Бросим камень в реку, от него пойдут волны, турбулентность. Эти, а также множество других подобных явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Для простых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера Данная гипотеза связана с описанием некоторых алгебраических уравнений — так называемых эллиптических кривых. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным. Данная гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.Если вспомнить про знаменитую теорему Ферма, то в ее доказательстве эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест.
Гипотеза Пуанкаре Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается расшифровка как «сферу можно стянуть в точку, бублик нельзя». От себя добавлю, что бублик можно легко растянуть в обычную кофейную кружку. Эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которую в действительности доказал Перельман. Частный случай гипотезы Пуанкаре же говорит о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности.Заключение В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, она в каждом доме. Как сказал В.О Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».
Наш мир далеко не так прост, как кажется и математика в соответствии с этим тоже усложняется, но она как и прежде является ничем иным как отражением реальности.
P.S. Это моя первая статья на хабре, в ней я пытался рассказать о «проблемах тысячелетия» более простым, основанным на реальных примерах, языком. Прошу сильно не ругать и не закидывать помидорами если что-то не до конца получилось. Критику и предложения по улучшению жду в комментариях.
