[Из песочницы] Разложение матрицы афинного преобразования
Не так давно в процессе разработки редактора 2D-графики возникла задача разложить матрицу афинного преобразования на плоскости, на произведение матриц простых преобразований с тем, чтобы отобразить их пользователю и предложить какую-то более-менее адекватную интерпретацию того, что произошло с объектом на канвасе. Честно говоря, эта задача вызвала у меня определенные трудности. Университет я закончил уже давно, и мне было непонятно, а возможно ли это сделать в принципе, учитывая, что исходная матрица могла быть результатом произвольной последовательности сдвигов, масштабов, поворотов, и переносов, причем каждое преобразование могло иметь свой произвольный центр. И, во-вторых, непонятно было, как найти семь параметров, имея всего шесть коэффициентов матрицы. Ключом к решению этой задачи оказалась статья «Разложение матрицы центроаффинного преобразования для нормализации изображения»¹, в которой рассматривается такая же задача, но без учета преобразования переноса и для преобразований относительно центра координат. Далее я фактически просто адаптирую результаты этой статьи с учетом переноса и для произвольного центра преобразований.
Итак, пусть матрица, задающая произвольное преобразование на плоскости, имеет вид:
┌ ┐
│ a11 a12 0 │
M = │ a21 a22 0 │.
│ a31 a32 1 │
└ ┘
Ее определитель
det = a11⋅a22 - a12⋅a21, det ≠ 0.
Пусть точка на плоскости задается вектор-строкой вида (x, y, 1), а ее преобразование — умножением справа на матрицу преобразования:
┌ ┐
┌ ┐ │ a11 a12 0 │
p1 = p0 • M = │ x0 y0 1 │ • │ a21 a22 0 │
└ ┘ │ a31 a32 1 │
└ ┘
В упомятнутой выше статье¹ утверждается, что произвольная матрица M центроафинного преобразования может быть представлена как произведение матриц R поворота, матрицы Hx сдвига вдоль оси X и матрицы S масштабирования:
Mc = R • Hx • S
Здесь
┌ ┐
│ cos(α) sin(α) 0 │
R = │ -sin(α) cos(α) 0 │,
│ 0 0 1 │
└ ┘
┌ ┐
│ 1 hx 0 │
Hx = │ 0 1 0 │,
│ 0 0 1 │
└ ┘
┌ ┐
│ sx 0 0 │
S = │ 0 sy 0 │,
│ 0 0 1 │
└ ┘
При разложении произвольной матрица афинного преобразования необходимо привести центр трансформации к центру координат, а также учесть преобразование переноса:
M = T0 • S • H • R • T0⁻¹ • T,
┌ ┐
│ 1 0 0 │
T0 = │ 0 1 0 │,
│ -tx0 -ty0 1 │
└ ┘
┌ ┐
│ 1 0 0 │
T0⁻¹ = │ 0 1 0 │,
│ tx0 ty0 1 │
└ ┘
┌ ┐
│ 1 0 0 │
T = │ 0 1 0 │.
│ tx ty 1 │
└ ┘
Подставив выражения для матриц простых преобразований получим следующие выражения для коэффициентов M:
a11 = sx⋅cos(α) - sx⋅hx⋅sin(α)
a12 = sx⋅hx⋅cos(α) + sx⋅sin(α)
a21 = -sy⋅sin(α)
a22 = sy⋅cos(α)
a31 = tx + tx0⋅(1 - (sx⋅cos(α) - sx⋅hx⋅sin(α))) + ty0⋅sy⋅sin(α)
= tx + tx0⋅(1 - a11) - ty0⋅a21
a32 = ty + ty0⋅(1 - cos(α)⋅sy) - tx0⋅(sx⋅hx⋅cos(α) + sx⋅sin(α))
= ty + ty0⋅(1 - a22) - tx0⋅a12
Решая данные уравнения относительно sx, sy, α, hx, tx, ty, после некоторых упрощений, получим выражения для искомых параметров:
if a22=0
α = π/2,
sy = -a21
else
α = atan(-a21/a22),
sy = a22/cos(α),
sx = det(M)/sy,
hx = (a11⋅a21 + a12⋅a22)/det,
tx = a31 + ty0⋅a21 + tx0⋅(a11 - 1),
ty = a32 + tx0⋅a12 + ty0⋅(a22 - 1).
Выражения для α, sx, sy, hx сооветствуют аналогичным в статье¹, хотя и несколько отличаются от них по форме. Кроме того мы получили формулы расчета параметров преобразования переноса tx и ty. Хочется также заметить, что даже если в оригинальной последовательности присутствовали сдвиги вдоль обеих осей, в разложении достаточно лишь сдвига вдоль одной из осей (здесь — вдоль оси X). Кроме того, поскольку угол поворота определен как результат функиции арктангенса, он принципиально ограничен значениями от -90˚ до +90˚. Учитывая также, что угол поворота на 180˚ соответсвует sx=-1 и sx=-1, мы имеем здесь некоторую неоднозначность. Например, изначально имея поворот на 120˚ при разложении по данному алгоритму мы получим -60˚ и sx=sy=-1.
¹) Путятин Е.П., Яковлева Е.В., Любченко В.А. «Разложение матрицы центроаффинного преобразования для нормализации изображения»
