[Из песочницы] Почему Гаусс? (100 способов решить систему уравннений)
Что вы будете делать, если вас попросят решить простенькую систему с тремя неизвестными? У каждого сформировался свой собственный и наиболее удобный лично для него подход. Существует масса способов решить систему линейных алгебраических уравнений. Но почему предпочтение отдается именно методу Гаусса?
Обо всем по порядку
Начнем с простого. Пусть задана система линейных уравнений третьего порядка:
$$display$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1,\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2, \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3. \\ \end{aligned} \right.$$display$$
Метод Гаусса заключается в последовательном «уничтожении» слагаемых, находящихся ниже главной диагонали. На первом этапе первое уравнение умножается на $inline$ \dfrac{a_{21}}{a_{11}} $inline$ и вычитается из второго (и аналогично умножается на $inline$ \dfrac{a_{31}}{a_{11}} $inline$ и вычитается из третьего). То есть, после этого преобразования, получаем следующее:
$$display$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1,\\ a_{22}'x_2 + a_{23}'x_3 = b_2', \\ a_{32}'x_2 + a_{33}'x_3 = b_3'. \\ \end{aligned} \right.$$display$$
Теперь второе уравнение умножается на $inline$ \dfrac{a_{32}'}{a_{22}'} $inline$ и вычитается из третьего:
$$display$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1,\\ a_{22}'x_2 + a_{23}'x_3 = b_2', \\ a_{33}''x_3 = b_3''. \\ \end{aligned} \right.$$display$$
Получили довольно простую систему, из которой легко находится $inline$x_3$inline$, затем $inline$x_2$inline$ и $inline$x_1$inline$.
Внимательный читатель обязательно заметит:, а что, если диагональные элементы равны нулю? Что же делать, если, например, $inline$a_{11} = 0$inline$? Неужели знаменитый метод Гаусса на этом заканчивается?
Ничего страшного! Давайте найдем $inline$\max|a_{1j}|$inline$ и поменяем местами $inline$j$inline$-ую и первую строку (не ограничивая общности, предположим, что $inline$\max |a_{1j}| = a_{13}$inline$). Заметим, что случая, когда все $inline$a_{1j}=0$inline$ быть не может, так как в этом случае определитель матрицы коэффициентов обращается в ноль и решить систему не предоставляется возможным. Итак, после перестановки 3-го уравнение на первую строку, выполняем действия, описанные ранее.
Поиском максимального по модулю элемента можно заниматься на каждой итерации, то есть на $inline$k$inline$-ой итерации искать $inline$\max |a_{kj}|$inline$, затем менять $inline$j$inline$-ую и $inline$k$inline$-ую строчки. Алгоритм, в которм осуществляется поиск максимального элемента в столбце, называется методом Гаусса с выбором главного элемента в столбце.
Есть и другой способ. Можно на $inline$k$inline$-ой итерации искать $inline$\max |a_{ik}|$inline$, затем менять уже не строчки, а столбцы. Но при этом важно запоминать индексы меняющихся столбцов в какой-нибудь массив $inline$\alpha$inline$ (чтобы потом восстановить точный порядок переменных).
Пример простого кода, реализующего данный алгоритм:
import java.io.FileReader;
import java.io.IOException;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.Locale;
import java.util.Scanner;
public class GuassianEliminationSearchMainElementsAtString {
public static void main(String[] args) throws IOException {
Scanner sc = new Scanner(new FileReader("input.txt"));
sc.useLocale(Locale.US);
int n = sc.nextInt();
double[][] a = new double[n + 1][n + 1];
double[] b = new double[n + 1];
// input
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] = sc.nextDouble();
}
b[i] = sc.nextDouble();
}
int[] alpha = new int[n + 1]; // array of indices
for (int i = 1; i <= n; i++) {
alpha[i] = i;
}
for (int m = 1; m <= n; m++) {
double max = Math.abs(a[m][m]);
int count = m;
for (int i = m + 1; i <= n; i++) {
if (Math.abs(a[m][i]) > max) { // search max elements at the string
max = Math.abs(a[m][i]);
count = i;
}
}
int tmp = alpha[m]; // swap strings
alpha[m] = alpha[count];
alpha[count] = tmp;
for (int i = m; i <= n; i++) {
double tmp2 = a[i][m];
a[i][m] = a[i][count];
a[i][count] = tmp2;
}
for (int i = m + 1; i <= n; i++) { // guassian right stroke
b[i] = b[i] - a[i][m] * b[m] / a[m][m];
for (int j = m + 1; j < n; j++) {
a[i][j] = a[i][j] - a[i][m] * a[m][j] / a[m][m];
}
}
} // for m
double[] x = new double[n+1];
for (int i = n; i >= 1; i--) { // guassian back stroke
double sum = 0;
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
sum += a[i][j] * x[alpha[j]];
}
x[alpha[i] - 1] = (b[i] - sum) / a[i][i];
}
// output
PrintWriter pw = new PrintWriter("output.txt");
for (int i = 0; i < n; i++) {
pw.printf(Locale.US, "x%d = %.5f \n", i + 1, x[i]);
}
pw.flush();
pw.close();
}
}
Почему Гаусс?
Существует и другой способ решения СЛАУ. Один из таких — метод Крамера. Он заключается в предварительном подсчете некоторого количества определителей, с помощью которых моментально вычисляются значения переменных. При исходной системе этот метод будет выглядеть следующим образом:
$$display$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}, \Delta_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13}\\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}, $$display$$
$$display$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13}\\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33}\\ \end{vmatrix}, \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3\\ \end{vmatrix}, $$display$$
$$display$$ x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}.$$display$$
Но вспомним — что такое определитель?
По определению, определитель матрицы $inline$A = (a_{ij})$inline$ есть сумма
$$display$$ \sum\limits_{1\leq i_1 < \dots < i_n \leq n} (-1)^{N(i_1, \dots, i_n)} a_{1i_1}\dots a_{ni_n}, $$display$$
где $inline$N (i_1,\dots, i_n)$inline$ — знак подстановки $inline$i_1, \dots, i_n.$inline$
Определитель содержит $inline$n!$inline$ слагаемых. Для решения системы необходимо посчитать $inline$n+1$inline$ определителей. При достаточно больших $inline$n$inline$ это очень затратно. Например, при $inline$n = 12$inline$ число операций становится $inline$12!(12+1) = 6227020800,$inline$ в то время как метод Гаусса с ассимптотикой $inline$n^3$inline$ потребует всего лишь $inline$12^3 = 1728$inline$ операций.
Итерационные методы
В качестве алгоритмов решения СЛАУ подходят и так называемые итерационные методы. Они заключаются в последовательном вычислении приближений до тех пор, пока какое-то из них будет максимально близко к точному ответу.
Сначала выбирается какой-то произвольный вектор $inline$x^0$inline$ — это нулевое приближение. По нему строится вектор $inline$x^1$inline$ — это первое приближение. И так далее. Вычисления заканчиваются, когда $inline$||x^k — x^{k+1}|| < \varepsilon$inline$, где $inline$\varepsilon$inline$ — какое-то заданное наперед значение. Последнее неравенство означает, что наше «улучшение» решения с каждой итерацией получается почти незначительным.
Рассмотрим популярный метод Якоби, который является одним из простейших итерационных методов решения СЛАУ.
Для начала запишем систему в следующем виде:
$$display$$ \sum\limits_{j\leq n} a_{ij}x_j = b_i, \ i = \overline{1, n}. $$display$$
Отделим $inline$i$inline$-ое слагаемое и выразим его через все остальное:
$$display$$ x_i = \dfrac{b_i — \sum\limits_{j\neq i} a_{ij}x_j}{a_{ii}}, \ i = \overline{1, n}.$$display$$
Теперь просто навесим «счетчики» на переменные и получим итерационный метод Якоби:
$$display$$ x_i^k = \dfrac{b_i — \sum\limits_{j\neq i} a_{ij}x_j^k}{a_{ii}}, \ i = \overline{1, n},\ k = 0,1,\dots.$$display$$
Заметим, что обязательным условием применения данного метода является отсутствие нулей по главной диагонали.
Реализация метода Якоби на Java:
В качестве $inline$\varepsilon$inline$ берется заранее вычисленное так называемое машинное эпсилон.
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.FileReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.Locale;
import java.util.Scanner;
public class JacobiMethod {
public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException {
Scanner sc = new Scanner(new FileReader("input.txt"));
sc.useLocale(Locale.US);
int n = sc.nextInt();
double[][] a = new double[n + 1][n + 1];
double[] b = new double[n + 1];
double[] x0 = new double[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] = sc.nextDouble();
}
b[i] = sc.nextDouble();
x0[i] = b[i] / a[i][i];
}
double EPS = EPSCalc();
double[] x = new double[n+1];
double norm = Double.MAX_VALUE;
int counter = 0;
do{
for(int i = 1; i <= n; i++) {
double sum = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(j == i) continue;
sum += a[i][j] * x0[j];
}
x[i] = (b[i] - sum) / a[i][i];
}
norm = normCalc(x0, x, n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
x0[i] = x[i];
}
counter++;
} while(norm > EPS);
PrintWriter pw = new PrintWriter("output.txt");
pw.println(counter + " iterations");
for (int i = 1; i <= n; i++) {
pw.printf(Locale.US, "x%d = %f\n", i, x0[i]);
}
pw.flush();
pw.close();
}
static double normCalc(double []x1, double[] x2, int n) {
double sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
sum += Math.abs(x1[i] - x2[i]);
}
return sum;
}
static double EPSCalc () {
double eps = 1;
while (1 + eps > 1) {
eps /= 2;
}
return eps;
}
}
Модификацией метода Якоби является метод релаксации. Его главное отличие заключается в том, что с помощью заранее подобранного параметра количество итераций значительно снижается. Опишем в кратце главную идею метода.
Из исходной системы снова выразим $inline$x$inline$, но расставим немного иначе счетчики и добавим параметр $inline$\omega$inline$:
$$display$$ x_i^k = \dfrac{\omega\left (b_i — \sum\limits_{j = 1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1} — \sum\limits_{j = i+1}^n a_{ij}x_j^k\right)}{a_{ii}} + (1-\omega)x_i^k, \ i = \overline{1, n},\ k = 0,1,\dots.$$display$$
При $inline$\omega=1$inline$ это все превращается в метод Якоби.
Итак, будем искать какое-нибудь «хорошее» $inline$\omega$inline$. Зададим какое-нибудь число $inline$s$inline$ и будем беребирать значения $inline$\omega \in (0,2)$inline$, для каждого из которых будем считать нормы $inline$||x^{k+1}-x^k||, \ k = \overline{1, s}$inline$. Для наименьшей из этих норм запомним данное значение $inline$\omega$inline$, и с его помощью будем решать нашу систему.
Иллюстрация метода на языке Java:
здесь $inline$s=5$inline$
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.FileReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.Locale;
import java.util.Scanner;
public class SuccessiveOverRelaxation {
public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException {
Scanner sc = new Scanner(new FileReader("input.txt"));
sc.useLocale(Locale.US);
int n = sc.nextInt();
double[][] a = new double[n + 1][n + 1];
double[] b = new double[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] = sc.nextDouble();
}
b[i] = sc.nextDouble();
}
double EPS = EPSCalc();
double w = bestRelaxationParameterCalc(a, b, n);
double[] x = new double[n + 1];
int counter = 0;
double maxChange = Double.MAX_VALUE;
do {
maxChange = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
double firstSum = 0;
for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {
firstSum += a[i][j] * x[j];
}
double secondSum = 0;
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
secondSum += a[i][j] * x[j];
}
double lastTerm = (1 - w) * x[i];
double z = (b[i] - firstSum - secondSum);
double temp = (w * z) / a[i][i] + lastTerm ;
maxChange = Math.max(maxChange, Math.abs(x[i] - temp));
x[i] = temp;
}
counter++;
} while(maxChange > EPS);
PrintWriter pw = new PrintWriter("output.txt");
pw.println(w + " is the best relaxation parameter");
pw.println(counter + " iterations");
for (int i = 1; i <= n; i++) {
pw.printf(Locale.US, "x%d = %f\n", i, x[i]);
}
pw.flush();
pw.close();
}
static double bestRelaxationParameterCalc(double[][]a, double[]b, int n) {
double bestW = 1, bestMaxChange = Double.MAX_VALUE;
for (double w = 0.05; w <= 2; w += 0.05) {
double[] x = new double[n + 1];
double maxChange = 0;
for (int s = 0; s < 5; s++) {
maxChange = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
double firstSum = 0;
for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {
firstSum += a[i][j] * x[j];
}
double secondSum = 0;
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
secondSum += a[i][j] * x[j];
}
double lastTerm = (1 - w) * x[i];
double z = (b[i] - firstSum - secondSum);
double temp = (w * z) / a[i][i] + lastTerm;
maxChange = Math.max(maxChange, Math.abs(x[i] - temp));
x[i] = temp;
}
}
if (maxChange < bestMaxChange) {
bestMaxChange = maxChange;
bestW = w;
}
}
return bestW;
}
static double EPSCalc () {
double eps = 1;
while (1 + eps > 1) {
eps /= 2;
}
return eps;
}
}
Вместо заключения
Существует еще масса алгоритмов для решения СЛАУ. Например, метод квадратного корня, в котором искомая система заменяется на две «простых» системы, решения которых вычисляется по элементарным формулам; метод прогонки, который используется для так специфических трехдиагональных матриц. Каждый сам выбирает, какой метод ему использовать для своей проблемы.
