[Из песочницы] Метод конечных элементов на примере уравнения Пуассона
В данной статье мне хотелось бы изложить реализацию метода конечных элементов на примере уравнения Пуассона. Рассмотрим задачу:
с однородным краевым условием
где
Требуется найти функцию 
, решающую заданное уравнение.
Решение
Умножим начальное уравнение на функцию 
, непрерывную, кусочно непрерывно-дифференцируемую и равную на краях нулю, и проинтегрируем полученное уравнение по всей области 
.
После применения формулы интегрирования по частям, получим следующее уравнение
Введем на области квадратную сетку с шагом 
:
и каждый квадрат разделим диагональю, параллельной биссектрисе первого координатного угла:
Получим разбиение области на треугольные элементы 
— триангуляция области .
Будем искать приближенное решение данного уравнения как функцию 
, равную нулю на границе (краевое условие), непрерывную на области и линейную на каждом полученном элементе триангуляции.
Функцию можно представить в следующем виде:
где значения функций в точке 
определены следующим образом:
Подставив функцию в первое уравнение, осуществив преобразования и вынос констант из под знака интеграла, сведем задачу для каждой базисной функции к подсчету интегралов вида:
Значение интеграла может быть не нулевым лишь в том случая, если базисные функции под знаком интеграла имеют непустую общую область определения. По построению, каждый элемент имеет три вершины. Вершина может быть общей максимально для 6 треугольников:
с соответствующими значениями производных для каждого из 6 случаев:
После подсчетов интеграла уравнение с номером 
будет выглядеть следующим образом:
где
и при достаточно малом :
Следовательно, уравнение может быть переписано в следующем виде:
Добавив гранитные условия, а именно:
получаем полную СЛАР, решая которую, находим значения функции в точках сетки.
