[Из песочницы] Беспроводная передача электрической энергии через индуктивно-связанные катушки
Введение
Думаю, что многие из читателей видели хотя бы один ролик на популярных видеосервисах, где электричество передается через пустоту при помощи индуктивных катушек.
В этой статье мы хотим обратиться к первоосновам процесса беспроводной передачи энергии с помощью магнитного поля. Начав с рассмотрения простейшей индуктивной катушки, и вычисления ее индуктивности, мы постепенно перейдем теории электрических цепей, в рамках которой, будет показан и обоснован способ передачи максимальной мощности при прочих равных условиях. Итак, начнем.
Магнитное поле одиночного витка с током
Рассмотрим магнитное поле одиночного витка с током. Найдем магнитное поле витка в любой точке пространства. Почему необходимо подобное рассмотрение? Потому что почти во всех книгах, по крайней мере в тех, которые удалось отыскать автору статьи, решение данной задачи ограничевается лишь нахождением одной компоненты магнитного поля вдоль оси витка $inline$B_z (z)$inline$, в то время как в этой статье мы отыщем закон для магнитного поля во всем пространстве.
Для нахождения магнитного поля, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа (смотри Википедия — Закон Био-Савара-Лапласа). На рисунке видно, что центр системы координат $inline$O$inline$совпадает с центром витка. Контур окружности витка обозначен как $inline$C$inline$, а радиус окружности — как $inline$a$inline$.По витку течет ток $inline$I$inline$. $inline$\vec{r}$inline$ — это переменная-радиус-вектор из начала координат в произвольную точку витка. $inline$\vec{r}_0$inline$ — это радиус-вектор в точку наблюдения. Еще нам понадобится полярный угол $inline$\varphi$inline$ — угол между радиус-вектором $inline$\vec{r}$inline$ и осью $inline$OX$inline$. Расстояние от оси витка до точки наблюдения обозначим за $inline$\rho$inline$. И наконец, $inline$\mathrm{d}\vec{r}$inline$ — элементарное приращение радиус-вектора $inline$\vec{r}$inline$.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа, элемент контура с током $inline$\mathrm{d}\vec{r}$inline$ создает элементарный вклад в магнитное поле, который дается формулой
$$display$$\mathrm{d}\vec{B}(\vec{r}_0)=\frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{[\,\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{r}_0-\vec{r})]}{|\vec{r}_0-\vec{r}|^3}$$display$$
Теперь остановимся подробнее на переменных и выражениях, входящих в формулу. С учетом аксиальной симметрии задачи можем записать
$$display$$\vec{r}_0 = (\rho\cos{\varphi}, \rho\sin{\varphi}, z) \overset{\varphi = 0}{\rightarrow} (\rho, 0, z)$$display$$
$$display$$\vec{r} = (a\cos{\varphi}, a\sin{\varphi}, 0)$$display$$
$$display$$\mathrm{d}\vec{r} = (-a\sin{\varphi}, a\cos{\varphi}, 0)\,\mathrm{d}\varphi$$display$$
$$display$$\vec{r}_0-\vec{r} = (\rho -a\cos{\varphi}, -a\sin{\varphi}, z)$$display$$
$$display$$[\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{r}_0-\vec{r})] = \begin{vmatrix} \vec{e}_x& \vec{e}_y& \vec{e}_z\\ -a\sin{\varphi}\,\mathrm{d}\varphi& a\cos{\varphi}\,\mathrm{d}\varphi& 0\\ \rho -a\cos{\varphi}& -a\sin{\varphi}& z \end{vmatrix} = (az\cos{\varphi}, az\sin{\varphi}, a^2 -a\rho\cos{\varphi})\,\mathrm{d}\varphi$$display$$
$$display$$|\vec{r}_0-\vec{r}|^3 = \left (\rho^2 + a^2 + z^2 -2\rho a\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}$$display$$
Для того чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно проинтегрировать по всему контуру витка, то есть
$$display$$\vec{B}(\vec{r}_0) = \int_C{\,\mathrm{d}\vec{B}(\vec{r}_0)}$$display$$
После подстановки всех выражений и некоторых тождественных преобразований получаем выражения для аксиальной и радиальной компоненты магнитного поля соответственно
$$display$$B_z (\rho, z) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_0^{2\pi}{\frac{\left (a^2 -\rho a\cos{\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi}{\left (\rho^2 + a^2 + z^2 -2\rho a\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}$$display$$
$$display$$B_r (\rho, z) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_0^{2\pi}{\frac{a\, z\,\,\mathrm{d}\varphi} {\left (\rho^2 + a^2 + z^2 -2\rho a\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}$$display$$
Для нахождения абсолютного значения магнитного поля необходимо просуммировать компоненты по теореме Пифагора $inline$B = \sqrt{B_r^2 + B_z^2}$inline$.
Продемонстрируем полученное решение на примере витка радиуса $inline$a = 0.1$inline$ (м) и $inline$I=1$inline$ (А).
Амплитуда аксиальной компоненты магнитного поля в зависимости от расстояния от оси $inline$OZ$inline$ до точки наблюдения при различных $inline$z$inline$
Амплитуда аксиальной компоненты магнитного поля в зависимости от расстояния от оси $inline$OZ$inline$ до точки наблюдения при различных $inline$z$inline$
Абсолютная амплитуда магнитного поля в зависимости от расстояния от оси $inline$OZ$inline$ до точки наблюдения при различных $inline$z$inline$
Заметим, что для витка произвольной формы, на больших расстояниях $inline$z\gg a$inline$, т.е. много больше характерного размера витка, поведение магнитного поля будет стремиться к найденному решению.
Для подобных вычислений и построения графиков удобно использовать MathCad 15
Катушка индуктивности. Магнитно-связанные катушки
Теперь, когда мы знаем решение для магнитного поля одного витка, можем найти индуктивность катушки, состоящей из $inline$n$inline$ витков. По определению индуктивность — это коэффициент пропорциональности между током в витке и магнитным потоком через площадь сечения витка. Мы пользуемся здесь идеальной моделью катушки, которая безразмерна по направлению своей оси симметрии. Конечно же, на практике такого не бывает. Однако, как приближенные, полученные формулы будут достаточно хороши. Хотя катушки и считаются безразмерными вдоль $inline$OZ$inline$, необходимо задаться ненулевым радиусом сечения провода. Обозначим его $inline$\delta$inline$, и пример равным $inline$\delta=0,1$inline$ (мм). Иначе при интегрировании магнитного потока подынтегральное выражение обратится в бесконечность.
На рисунке изображены две магнитно связанные катушки. Пусть первая катушка имеет радиус $inline$a_1$inline$ и содержит $inline$n_1$inline$ витков, а вторая — $inline$a_2$inline$ и $inline$n_2$inline$ соответственно. Тогда для нахождения собственных индуктивностей необходимо вычислить магнитный поток каждой катушки через свое собственное сечение.
$$display$$\Phi = \iint_S{\vec{B}\cdot\vec{\,\mathrm{d}S}} = \int_0^{2\pi}{\int_0^{a-\delta}{B_z (\rho, z)\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi}} = 2\pi\int_0^{a-\delta}{B_z (\rho, z)\rho\,\mathrm{d}\rho}$$display$$
Поскольку в катушке много витков, найдем велечину, называемую потокосцепление, дважды умножив на количество витков
$$display$$\Psi = \frac{1}{2}n^2\mu_0 I \int_0^{a-\delta}{\int_0^{2\pi}{\frac{\left (a^2 — \rho a\cos{\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi}{\left (\rho^2 + a^2 + z^2 -2\rho a\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}\rho\,\mathrm{d}\rho}$$display$$
По определению, индуктивность это коэффициент пропорциональности $inline$L$inline$ в формуле $inline$\Psi = LI$inline$. Таким образом, получим собственные индуктивности катушек
$$display$$L_1 = \frac{1}{2}n_1^2\mu_0 \int_0^{a_1-\delta}{\int_0^{2\pi}{\frac{\left (a_1^2 — \rho a_1\cos{\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi}{\left (\rho^2 + a_1^2 -2\rho a_1\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}\rho\,\mathrm{d}\rho}$$display$$
$$display$$L_2 = \frac{1}{2}n_2^2\mu_0 \int_0^{a_2-\delta}{\int_0^{2\pi}{\frac{\left (a_2^2 — \rho a_2\cos{\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi}{\left (\rho^2 + a_2^2 -2\rho a_2\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}\rho\,\mathrm{d}\rho}$$display$$
Пусть центры катушек разделены расстоянием $inline$d$inline$, лежат на одной оси, и их плоскости витков сориентированы параллельно. Для нахождения взаимной индуктивности, нужно вычислить потокосцепление, образуемое одной катушкой через сечение другой, то есть
$$display$$\Psi_{12} = \frac{1}{2}n_1 n_2\mu_0 I \int_0^{a_2-\delta}{\int_0^{2\pi}{\frac{\left (a_1^2 — \rho a_1\cos{\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi}{\left (\rho^2 + a_1^2 + z^2 -2\rho a_1\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}\rho\,\mathrm{d}\rho}$$display$$
Тогда взаимная индуктивность катушек дается выражением
$$display$$M_{12} = \frac{1}{2}n_1 n_2\mu_0 \int_0^{a_2-\delta}{\int_0^{2\pi}{\frac{\left (a_1^2 — \rho a_1\cos{\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi}{\left (\rho^2 + a_1^2 + d^2 -2\rho a_1\cos{\varphi}\right)^{\frac{3}{2}}}}\rho\,\mathrm{d}\rho}$$display$$
Насколько известно автору, такие интегралы можно взять только численно.
Заметим, что как правило $inline$\Psi_{12} = \Psi_{21}$inline$ и $inline$M_{12} = M_{21} = M$inline$. Коэффициентом связи катушек называется величина
$$display$$k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$$display$$
Исследуем зависимость коэффициента связи катушек от расстояния. Для этого рассмотрим две одинаковые катушки с радиусом витков $inline$a_1 = a_2 = 0.1$inline$ (м) и количеством витков $inline$n_1 = n_2 = 100$inline$. При этом собственная индуктивность каждой из катушек составит $inline$L_1 = L_2 = 8.775$inline$ (мГн).
График зависимости коэффициента связи двух одинаковых катушек от расстояния между ними
График не изменится, если одинаково изменить число витков в обеих катушках, либо одинаково изменить радиус обеих катушек. Коэффициент связи удобно выражать в процентах. Из графика видно, что даже при расстоянии между катушками в 1 (мм) коэффицент связи меньше 100%. Коэффициент падает до 10% на расстоянии порядка 60 (мм), и до 1% на 250 (мм).
Беспроводная передача энергии
Итак, нам известны индуктивности и коэффициент связи. Теперь воспользуемся теорией электрических цепей переменного тока для поиска оптимальных параметров, при которых передаваемая мощность оказалась бы максимальной. Для понимания этого параграфа читатель должен быть знаком с понятием электрического импеданса, а также с законами Кирхгоффа и законом Ома. Как известно из теории цепей, две индуктивно-связанные катушки образуют воздушный трансформатор. Для анализа трансформаторов удобна Т-образная схема замещения.
Трансформатор и его схема замещения
Катушку слева будем условно называть «трасмиттер», а катушку справа «ресивер». Между катушками коэффициент связи $inline$k$inline$. На стороне ресивера находится потребитель, представленный нагрузкой $inline$z_L$inline$. Нагрузка в общем случае может быть комплексной. Входное напряжение на стороне трансмиттера $inline$u_1$inline$, а входной ток — $inline$i_1$inline$. Напряжение, передаваемое на ресивер — $inline$u_2$inline$, и передаваемый ток $inline$i_2$inline$. Полный импеданс на стороне трансмиттера обозначим как $inline$z_1$inline$, а полный импеданс на стороне ресивера $inline$z_1$inline$.
Предполагается, что на вход схемы подается синусоидальное напряжение $inline$u_1 = u_{1m}\sin{\omega t}$inline$.
Обозначим $inline$R_{coil\,1}, R_{coil\,2}, L_{coil\,1}, L_{coil\,2}, M$inline$ — сопротивления и индуктивности катушек (две собственные и одна взаимная) соответственно. Тогда, согласно теории
$$display$$z_1 = R_{coil\,1} + j\omega (L_{coil\,1} — M)$$display$$
$$display$$z_2 = R_{coil\,2} + j\omega (L_{coil\,2} — M) + R_{load} + j X_{load}$$display$$
С другой стороны, согласно нашим обозначениям
$$display$$z_1 = r_1 + j x_1$$display$$
$$display$$z_2 = r_2 + j x_2$$display$$
где $inline$r_1, r_2$inline$ — полные активные сопротивления на стороне трансмиттера и ресивера соответственно, и $inline$x_1, x_2$inline$ — полные реактивные сопротивления.
Импеданс связи равен $inline$z_3 = j \omega M = j x_3$inline$.
Найдем входной ток цепи
$$display$$i_1 = \frac{u_1}{z_1 + z_2 || z_3}$$display$$
где знак $inline$||$inline$ обозначает параллельное соединение сопротивлений. Тогда напряжение, переданное на ресивер
$$display$$u_2 = u_1 — i_1 z_1 = u_1\left (1 — \frac{z_1}{z_1 + z_2 || z_3}\right)$$display$$
И наведенный ток
$$display$$i_2 = \frac{u_2}{z_2} = \frac{u_1}{z_2}\left (1 — \frac{z_1}{z_1 + z_2 || z_3}\right)$$display$$
Можем найти комплексную мощность, переданную в ресивер
$$display$$s_2 = u_2 i_2^* = p_2 + jq_2$$display$$
Таким образом имеем выражение для комплексной мощности
$$display$$s_2 = |u_1|^2 z_2 \left|\frac{z_3}{z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3}\right|^2$$display$$
Выражение для активной компоненты мощности
$$display$$p_2 = |u_1|^2 r_2 \left|\frac{z_3}{z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3}\right|^2$$display$$
Выражение для реактивной компоненты мощности
$$display$$q_2 = |u_1|^2 x_2 \left|\frac{z_3}{z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3}\right|^2$$display$$
В большинстве практических задач требуется передать максимальную активную мощность, поэтому
$$display$$p_2 \rightarrow \mathrm{max} \Rightarrow \left|\frac{z_3}{z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3}\right|^2 \rightarrow \mathrm{max}$$display$$
Либо, что то же самое
$$display$$\left|z_1 + z_2 + \frac{z_1z_2}{z_3}\right|^2 \rightarrow \mathrm{min}$$display$$
$$display$$\left|r_1 + jx_1 + r_2 + jx_2 +\frac{(r_1 + jx_1)(r_2 + jx_2)}{jx_3}\right|^2 \rightarrow \mathrm{min}$$display$$
$$display$$\frac{1}{x_3^2}|(r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j (x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 — r_1r_2)|^2 \rightarrow \mathrm{min}$$display$$
Для удобства введем функцию
$$display$$f (x_1, x_2) = (r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j (x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 — r_1r_2)$$display$$
и исследуем ее на наличие экстремумов
$$display$$|f (x_1, x_2)|^2 \rightarrow \mathrm{min}$$display$$
Откуда получаем систему из двух уравнений
$$display$$\frac{\partial|f|^2}{\partial x_1} = 2\mathbb{Re}(f)r_2 + 2\mathbb{Im}(f)(x_2 + x_3) = 0$$display$$
$$display$$\frac{\partial|f|^2}{\partial x_2} = 2\mathbb{Re}(f)r_1 + 2\mathbb{Im}(f)(x_1 + x_3) = 0$$display$$
Эта система имеет пять решений, два из которых нефизичны, так как приводят к мнимым значениям велечин, которым полагается быть действительными. Остальные три решения приведены ниже вместе с соответствующими им формулами для мощности
$$display$$x_1 = -x_3,\quad x_2 = -x_3, \quad p_2 = \frac{|u_1|^2\, x_3^2\, r_2}{\left (r_1r_2 + x_3^2\right)^2}, \quad q_2 = -\frac{|u_1|^2\, x_3^3}{\left (r_1r_2 + x_3^2\right)^2}$$display$$
$$display$$x_1 = \frac{1}{r_2}\left (\sqrt{r_1r_2\left (x_3^2-r_1r_2\right)}-r_2x_3\right), \quad x_2 = \frac{1}{r_1}\left (\sqrt{r_1r_2\left (x_3^2-r_1r_2\right)}-r_1x_3\right), \quad p_2 = \frac{|u_1|^2}{4\, r_1}, \quad q_2 = \frac{|u_1|^2\, x_2}{4\, r_1\, r_2}$$display$$
$$display$$x_1 = -\frac{1}{r_2}\left (\sqrt{r_1r_2\left (x_3^2-r_1r_2\right)}+r_2x_3\right), \quad x_2 = -\frac{1}{r_1}\left (\sqrt{r_1r_2\left (x_3^2-r_1r_2\right)}+r_1x_3\right), \quad p_2 = \frac{|u_1|^2}{4\, r_1}, \quad q_2 = \frac{|u_1|^2\, x_2}{4\, r_1\, r_2}$$display$$
Наиболее практичным представляется первое из трех решений $inline$x_1 = -x_3,\quad x_2 = -x_3$inline$. И соответствующая ему активная мощность дается формулой
$$display$$p_2 = \frac{|u_1|^2\, x_3^2\, r_2}{\left (r_1r_2 + x_3^2\right)^2}$$display$$
Из формулы мощности видно, что мощность зависит от реактивного сопротивления связи $inline$x_3 = 2\pi\, f\, k\,\sqrt{L_{coil\,1}L_{coil\,2}}$inline$, а значит и от частоты передачи $inline$f$inline$, и от геометрии взаимного расположения катушек, которая учитывается коэффициентом связи $inline$k$inline$.
Численное моделирование
Продемонстрировать работу всей вышеизложенной теории можно, выполнив симуляцию SPICE модели нашего устройства из двух связанных катушек.
SPICE модель двух индуктивно-связанных катушек
Величины емкостей найдены из формул $inline$\omega L_1 = \frac{1}{\omega C_1}, \omega L_2 = \frac{1}{\omega C_2}$inline$. Симуляция выполнена для коэффициента связи $inline$k = 1$inline$%, что соответствует 25 см удаления между катушками. Параметры катушек те же, что и в предыдущем параграфе, принятые для построения графика $inline$k$inline$.
Ниже приведены два графика для переданного напряжения и переданной мощности во времени на частоте $inline$f=10$inline$ (кГц).
Переданное напряжение
Переданная мощность
Заключение
В заключении можно сделать вывод, что для передачи максимальной мощности можно
- увеличить количество витков в катушках $inline$n_1, n_2$inline$
- увеличить радиус витков $inline$a_1, a_2$inline$
- увеличить частоту передачи $inline$f$inline$
- уменьшить расстояние между катушками $inline$d$inline$
- ввести магнитный сердечник, принадлежащий обеим катушкам
Пожалуй, написание этой статьи накладывает на автора обязательство изготовить и протестировать такой прибор, состоящий из двух катушек, в лабораторных условиях, но это уже совсем другая история. Благодарю за внимание.
Литература
- Сивухин, Д. В. «Общий курс физики. Т. 3: Электричество и магнетизм.» (1990).
- Бессонов, Лев Алексеевич. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Общество с ограниченной ответственностью Издательство ЮРАЙТ, 2012.
- Лаврентьев, М. А., and Б.В. Шабат. «Теория функций комплексной переменной.» (1972).
