Как абстрактная математика помогает конкретной физике
Обсудить 0
В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.
Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.
Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование — индивидуальный поворот фазы каждой частицы.
От сил к потенциалам
Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).
Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.
Отсечь все лишнее
В калибровочных теориях существует очень обширная симметрия, которая неодинаково проявляет себя в разных точках пространства и времени. Поэтому при математическом описании симметрий такого типа появляются параметры, которые зависят от пространственно-временных координат. И вот оказывается, что существование калибровочных симметрий накладывает весьма сильные ограничения на свойства объектов, которые эти теории описывают.
«Для примера возьмем квантовую электродинамику, — объясняет академик Валерий Рубаков. — Электромагнитные взаимодействия переносят частицы с единичным спином — фотоны. Спин фотона может быть ориентирован только в двух направлениях, вдоль или против его движения. В первом случае мы говорим о правой поляризации, во втором — о левой. Но если строить теорию фотонов чисто формально, ни о чем не задумываясь, появятся еще две поляризации с нулевыми проекциями спина на направление движения. Если такое допустить, теория рассыпется, потеряет самосогласованность. А в теории с правильно подобранной калибровочной симметрией эта проблема не возникает, лишние поляризации оттуда уходят. Аналогичная ситуация имеет место и в теории глюонного поля, переносящего сильные взаимодействия, и в теории слабого взаимодействия, переносящего промежуточные векторные бозоны. Все эти частицы имеют единичный спин, и у всех возникают неприемлемые состояния, которые не исчезают сами по себе, однако изгоняются калибровочной симметрией».
Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).
Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.
Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.
Калибровочные преобразования
Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.
Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!
И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.
Такие рассуждения сейчас кажутся вполне естественными, но сто лет назад до них никто не додумался. Калибровочная инвариантность — и как идея, и как термин — пришла в теоретическую физику иным путем. Чтобы понять, как это произошло, обратимся к работам Вейля.
Мир переменных масштабов
Вейль записал уравнения гравитационного поля в пространстве с иной геометрией, чем та, которой воспользовался Эйнштейн. В итоге к ним добавились формулы, в которых Вейль увидел основные черты уравнений Максвелла. Этим путем он получил математическую конструкцию, которую счел единой теорией электричества и тяготения.
Уравнения ОТО записываются в римановом пространстве, искривленном четырехмерном пространстве-времени с однозначной метрикой. В отличие от «плоского» евклидового пространства, где при перенесении произвольного вектора вдоль замкнутой кривой по возвращении в исходную точку он окажется в прежней позиции, в римановом пространстве такой перенос закончится поворотом вектора на ненулевой угол, который будет мерой кривизны пространства в этой точке. С другой стороны, длина вектора после переноса остается той же самой — в этом и состоит однозначность метрики.
Локальная калибровочная инвариантность
От этого ограничения и отказался Вейль. Он предположил, что уравнения тяготения не должны зависеть от масштабов, применяемых для измерения длины. В обыденной жизни можно с равным успехом пользоваться метрами, футами, аршинами и вершками. Численные значения длины любого отрезка зависят от единицы измерения, но отношения между ними строго сохраняются.
Нечто подобное происходит и в геометрии Вейля, только масштабная единица непрерывно изменяется от точки к точке. Вслед за ней изменяются и длины, но отношения этих длин для любой пары векторов с общим началом остаются неизменными. Операцию смены масштабов Вейль назвал перекалибровкой. Она сохраняет уравнения гравитационного поля — это и есть калибровочная инвариантность в своей ранней исторической ипостаси.
Группы симметрии и калибровочные бозоны
В теоретической физике инвариантность к определенным преобразованиям приводит к появлению специальных свойств. К примеру, ньютоновское уравнение движения инвариантно к трансляции (смещению на некоторое расстояние в пространстве), что приводит к закону сохранения импульса. Калибровочные преобразования на первый взгляд кажутся абстрактными, но они приводят к существованию различных калибровочных полей, связанных с математическим понятием групп симметрии. В группе U (1) только один фазовый угол, в Стандартной модели ему соответствует один бозон (электромагнитного взаимодействия — фотон), группа SU (2) имеет три фазовых угла (в СМ — три бозона слабого взаимодействия), SU (3) — восемь фазовых углов (восемь бозонов сильного взаимодействия — глюонов).
Но причем здесь электричество? В ОТО длины векторов сохраняются, поэтому сравнить их не представляет проблемы. А вот Вейлю пришлось ввести математические правила, позволяющие выяснить, имеют ли два вектора в соседних точках одинаковую длину (хотя сама длина при этом не определена!).
Эти правила он интерпретировал как уравнения Максвелла для электромагнитных потенциалов. Изменение длины вектора определяется именно этими потенциалами (подобно тому, как изменение его ориентации задается кривизной пространства, которая проявляется через гравитацию).
Вейль отправил рукопись своей статьи Эйнштейну и попросил рекомендовать ее к публикации. Эйнштейн так и сделал, но отметил, что если теория Вейля верна, то частоты оптических спектров должны зависеть от истории излучающих атомов, а это явно противоречит эксперименту. Были выдвинуты и другие возражения, поставившие крест на вейлевском объединении электричества и гравитации. Изумительная по красоте модель оказалась физически несостоятельной.
Проблема с гравитацией
Однако гравитация, с которой все начиналось, в Стандартную модель не входит. По словам академика Рубакова, гравитация имеет свою специфику: «При квантовании поля тяготения возникают гравитоны. Это тоже бозоны, но уже не векторные — их спин равен не единице, а двойке. Однако теория гравитации опять-таки подчиняется калибровочной симметрии. Гравитон, подобно фотону, имеет лишь две поляризации, в то время как число математически возможных поляризаций у частицы со спином 2 равно пяти. Калибровочная симметрия гравитационного поля позволяет убрать лишние поляризации и тем самым сделать теорию непротиворечивой. Эту симметрию фактически нашел еще Эйнштейн, хотя в ОТО нет никаких гравитонов. Но там имеется симметрия пространства-времени относительно всех гладких преобразований координат, а это и есть калибровочная симметрия.
Впрочем, калибровочные теории очень сильны, но все же не всемогущи. Сегодняшние теории элементарных частиц очень сложно объединить с гравитацией, и в этом их очевидная слабость. Все попытки создать квантовую теорию тяготения пока не увенчались успехом. Так что наши нынешние калибровочные модели — это, конечно, еще не вся правда. Я думаю, что для объединенного описания всех четырех фундаментальных взаимодействий придется изобрести новую теорию с еще более широкой калибровочной симметрией. Многие возлагают надежду на теории суперструн, но скорее всего, понадобится что-то еще шире. Но я не сомневаюсь, что в основе этой будущей теории окажутся какие-то калибровочные симметрии. Некоторые ее черты просматриваются уже сейчас, но когда она появится и какую примет форму, я предсказывать не берусь».
Однако позднее стало ясно, что идея калибровочной инвариантности глубока и конструктивна, а Вейль ошибся лишь в ее конкретном приложении. В 1920-е годы это поняли несколько физиков, в том числе Фриц Лондон — впоследствии один из авторов первой квантовой теории сверхпроводимости. В 1927 году он предложил новую интерпретацию теории Вейля, сделавшую ее частью квантовой физики.
Вся сила в фазе
Вот как выглядит идея Лондона в современном выражении. Квантовые объекты описываются комплексной (в математическом смысле) волновой функцией. Измерить ее экспериментально (как и электромагнитные потенциалы!) невозможно. Опытным путем можно выявить лишь вероятности значений физических величин, которые определяются квадратом модуля этой волновой функции. Поэтому ее можно умножить на любое комплексное число с единичным модулем — вероятность от этого не изменится. Если записать такое число в виде экспоненты с чисто мнимым показателем, то операция его умножения на волновую функцию приведет к изменению ее фазы.
Если на квантовую частицу не действуют никакие силы, изменение фазы не повлечет за собой значимых последствий. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в нерелятивистском случае описывается уравнением Шредингера, которое при умножении на фазовый множитель изменяет свой вид и становится неинвариантным. Это препятствие можно обойти, если одновременно изменить электромагнитные потенциалы с помощью того самого классического преобразования, которое после работ Вейля называется калибровочным. Если записать показатель экспоненты в виде произведения мнимой единицы на заряд частицы и скалярную функцию времени и координат, то эта функция как раз и будет задавать требуемое калибровочное преобразование потенциалов. Оно точно компенсирует те дополнительные члены в уравнении Шредингера, которые появляются после изменения фазы волновой функции.
В чем физический смысл этой вроде бы чисто абстрактной математики? Состояния частицы, чьи волновые функции различаются лишь фазовыми множителями, с точки зрения эксперимента эквивалентны. Если частица заряжена и, следовательно, подчиняется действию электромагнитного поля, возможность произвольной смены фазового множителя обеспечивается соответствующим изменением электромагнитных потенциалов. Инвариантность уравнения движения частицы относительно выбора фазы волновой функции автоматически приводит к калибровочной инвариантности полевых уравнений.
Если записать уравнение Шредингера для заряженной частицы без каких-либо электромагнитных потенциалов, найти его решение в виде волновой функции и умножить ее на фазовый множитель, в уравнении появятся добавочные члены. Следовательно, оно должно содержать какие-то компоненты, которые своими изменениями скомпенсируют эти добавки. В качестве таких компонент как раз и выступают электромагнитные потенциалы. Получается, что если волновые функции, различающиеся на произвольный фазовый множитель, описывают одно и то же состояние заряженной квантовой частицы, то должны существовать и электромагнитные поля, которые подчиняются уравнениям Максвелла.
Таким образом, мы пришли к удивительному результату — фазовая инвариантность порождает электромагнетизм! Этого еще нет у Лондона, хотя логика его рассуждений подводит к такому выводу. Впервые его четко сформулировал Вейль в статье «Электрон и гравитация», опубликованной в 1929 году (хотя он использовал не уравнение Шредингера, а дираковское уравнение для релятивистского электрона). Умножение волновой функции на фазовый множитель у Вейля предстает как новое калибровочное преобразование, тесно связанное с преобразованием электромагнитных потенциалов.
Инструмент предсказаний
Идеи Вейля настолько привлекли Вольфганга Паули, что в 1933 году он пересказал их в статье «Волновая механика». В середине 1940-х годов ее прочел молодой китайский физик Янг Чжэньнин, которого очень заинтересовало доказательство связи между фазовой инвариантностью и сохранением электрического заряда. В 1953—1954 годах в Брукхейвенской национальной лаборатории Чжэньнин и аспирант Роберт Миллс применили эти идеи для анализа ядерных сил. Их совместная статья «Сохранение изотопического спина и обобщенная калибровочная инвариантность» сыграла огромную роль в развитии теоретической физики.
Янг и Миллс первыми показали, что на основе калибровочной симметрии можно предсказывать существование ранее неизвестных физических полей и, как следствие, еще не открытых частиц (Паули пришел к сходным выводам за год до Янга и Миллса, однако воздержался от их публикации). В 1960—1970-е годы этот росток дал обильный урожай в виде Стандартной модели элементарных частиц.
«Классическая физика большей частью шла так, что установление связи математических величин с реальными вещами предшествовало уравнениям, т. е. установлению законов, причем нахождение уравнений представляло главную задачу, ибо содержание величин заранее представлялось ясным независимо от законов… Современная теоретическая физика, не скажу — сознательно, но исторически так оно и было, пошла по иному пути, чем классика. Это получилось само собой. Теперь прежде всего стараются угадать математический аппарат, оперирующий с величинами, о которых или о части которых заранее вообще не ясно, что они означают». Л.И. Мандельштам, лекция по квантовой механике, 1939
«Все фундаментальные взаимодействия, за исключением гравитации, переносятся векторными частицами, — говорит профессор МГУ и главный научный сотрудник Института ядерных исследований РАН, автор монографии о калибровочных полях академик Валерий Рубаков, — так уж устроен мир. А при таком раскладе просто необходимо пользоваться калибровочными симметриями, иначе получаются сплошные патологии. Физики шли к пониманию этих вещей очень разными путями. Калибровочная природа электромагнетизма известна еще со времен Вейля, больше 80 лет. Объединенная калибровочная теория слабых и электромагнитных взаимодействий была развита Стивеном Вайнбергом и Абдусом Саламом во второй половине 1960-х годов и окончательно доработана лишь в начале 1970-х. А потом настала очередь и внутриядерных сил. Как раз тогда экспериментаторы показали, что на очень малых дистанциях взаимодействие между кварками не растет, а слабеет. Это явление назвали асимптотической свободой, и поначалу оно не находило разумного объяснения. Однако трое физиков-теоретиков — Дэвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Дэвид Политцер — вскоре показали, что в калибровочных моделях глюонных полей асимптотическая свобода возникает естественным образом. Отсюда было недалеко до объединения теорий электрослабых и сильных взаимодействий в единую теоретическую конструкцию, которую назвали Стандартной моделью».
