Магия тензорной алгебры: Часть 16 — Свойства тензора инерции твердого тела


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела


Начав рассматривать динамику твердого тела мы столкнулись интересной тензорной величиной, а именно

%0AI_%7B%5C%2Ci%7D%5E%7B%5C%2Cj%7D%20%3D


называемой тензором инерции твердого тела. Кроме того, мы выяснили, что привычный из курса теоретической механики момент инерции твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси, получается из тензора инерции с помощью простой формулы

%0AI_u%20%3D%20g_%7B%5C%2C%20jk%7D%20%5C


Рассмотрим подробнее свойства тензора инерции твердого тела. И для начала изучим механические величины, вычисление которых, так же как и приведение сил инерции к данному центру, приводит к понятию тензора инерции.
Моментом количества движения материальной точки (МКД) относительно данного центра inline_formula называют вектор, равный

%0A%5Cvec%20l_%7Bo_1%7D%20%3D%20m%20%5C%


Для твердого тела, при вращении вокруг полюса МКД элементарного объема

%0Ad%5Cvec%20L_%7Bo_1%7D%20%3D%20%5Cleft


или в тензорной форме

%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0AdL_%7Bo_1%7D


Интегрируя (3) получим МКД твердого тела относительно центра inline_formula

%0AL_%7Bo_1%7D%5E%7B%5C%2Ci%7D%20%3D%20%


В соответствии с (4), тензор инерции есть линейный оператор, связывающий МКД твердого тела с его угловой скоростью.
Кинетическая энергия элементарного объема тела

%0AdT%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5


что эквивалентно тензорному соотношению

%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0AdT%20%26%3D%


Интегрируя последнее выражение по всему объему тела получаем выражение кинетической энергии

%0AT%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20


В выражении (5), как видно, снова фигурирует тензор инерции inline_formula. При вращении тела вокруг неподвижной оси, в соответствии с выражением угловой скорости через конечный поворот тела inline_formula выражение (5) трансформируется в

%0AT%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C


Формула (6) — кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении, а inline_formula, в соответствии с (2), момент инерции тела относительно оси, задаваемой ортом inline_formula.
Легко показать, что тензор (1) не является симметричным. Однако, в декартовых координатах тензор инерции есть симметричный тензор, и исходя из этого факта выводятся все основные его свойства. Вместе с тем, мы не могли не заметить, что в выражениях (2) и (5) фигурирует величина вида

%0AI_%7B%5C%2Ckl%7D%20%3D%20g_%7B%5C%2Ck


Полученный тензор (7) является симметричным ковариантным тензором 2-го ранга, так как нетрудно убедится в справедливости равенства inline_formula. Будем называть тензор (7) ковариантным тензором инерции. С учетом выражения (7) можно переписать выражение (2) для осевого момента инерции через контравариантные компоненты орта оси вращения

%0AI_u%20%3D%20u%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2


Автор не встретил в литературе только что введенного термина, но поскольку из симметричности (7) вытекают все основные свойства тензора инерции, ввод данного понятия, как будет показано ниже, вполне оправдан.
Покажем, для начала, что тензор (7), в силу своей симметричности, имеет действительные собственные значения. Пусть inline_formula — произвольное собственное число, которому соответствует собственный вектор inline_formula. Тогда справедливо соотношение

%0A%5Cmathbf%7BI%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathb


Допустив комплексные собственные числа и собственные векторы, умножим (9) слева на сопряженнй собственный вектор

%0A%5Cmathbf%20%5Cxi%5E%7B%2A%7D%20%5Ccd


Выполним комплексное сопряжение (10)

%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0A%26%5Cleft%2


Здесь мы учитываем что компоненты (7) — действительные числа, а значит операция сопряжения эквивалентна транспонированию. Так как тензор (7) симметричный, inline_formula, то есть, с учетом (10)

%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0A%26%5Cmathbf


или, окончательно

%0A%5Clambda%20%3D%20%20%5Coverline%5Cla


Равенство (12) справедливо, если inline_formula — действительное число.

Так как тензор (7) представлен матрицей в трехмерном пространстве, он имеет три действительных собственных числа inline_formula, которым соответствуют действительные же собственные векторы inline_formula, соответственно, можно записать тензорные соотношения

%0AI_%7B%5C%2Ckl%7D%20%5C%2C%20%5Cxi%5E%


Умножим скалярно каждое из уравнений (13) на соответствующий собственный вектор

%0A%5Cxi%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%20%5C%2C%20I


Поделив обе части уравнений (14) на квадрат модуля соответствующего собственного вектора, получим

%0A%5Clambda%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cxi%5E%


Очевидно, что

%0Au_%7B%5Cxi%7D%5Ek%20%3D%20%20%20%5Cfr


контравариантные компоненты некоторых ортов. Значит в (15), согласно (8), в качестве собственных чисел ковариантного тензора инерции, представлены моменты инерции тела относительно осей inline_formula и inline_formula

%0AI_%5Cxi%20%3D%20u_%7B%5Cxi%7D%5Ek%20%


Кроме того, собственные векторы inline_formula и inline_formula образуют ортогональную тройку векторов. Действительно, проведем цепочку преобразований, с участием любой пары собственных векторов

%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0A%26I_%7B%5C%


Учитывая, что inline_formula, получаем условие

%0A%5Cleft%28%5Cmu%20-%20%5Clambda%20%5C


которое, в силу того, что в общем случае inline_formula, справедливо, когда скалярное произведение собственных векторов равно нулю

%0A%5Czeta_%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20%5Cx


Это означает, что inline_formula. Повторяя доказательство для любой пары собственных векторов, получим, что они действительно ортогональны друг другу.
По результатам предыдущего параграфа можно сказать, что с твердым телом связана ортогональная система координат, оси которой inline_formula и inline_formula направлены вдоль собственных векторов ковариантного тензора инерции. В этих осях, в соответствии с определением собственных значений, ковариантный тензор инерции приводится к диагональному виду

%0A%5Cmathbf%20I%20%3D%20%0A%5Cbegin%7Bb


В диагонали стоят моменты инерции, вычисляемые по формулам (17). Эти моменты инерции называют главными моментами инерции твердого тела, а оси, направление которых задается векторами inline_formula и inline_formula — главными осями инерции.
Предположим, что нам известен центральный (вычисленный относительно центра масс тела) тензор инерции inline_formula. Допустим, что мы хотим вычислить тензор инерции относительно точки inline_formula, отстоящей от центра масс в направлении известного вектора inline_formula. В этом случае радиус-вектор элементарного объема тела относительно точки inline_formula можно определить как сумму

%0A%5Crho%5E%7B%5C%2Ci%7D%20%3D%20%5Crho


где inline_formula — радиус вектор элементарного объема тела относительно центра масс

Подставим (18) в (1)

%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0AI_%7B%5C%2Ci


Здесь мы учитываем, что интегралы вида

%0A%5Cint%5Climits_V%20%5Crho_%7B%5C%2Ck


задают положение центра масс тела относительно центра масс, то есть равны нулю. Окончательно получаем выражение для тензора инерции

%0AI_%7B%5C%2Ci%7D%5E%7B%5C%2Cj%7D%20%3D


определяющее тензор инерции относительно произвольной точки inline_formula через тензор инерции относительно центра масс. Выражение (19) называют теоремой Гюйгенса-Штейнера. Приведенное доказательство этой теоремы выполнено в самой общей форме.
В декартовых координатах метрика задается единичной матрицей, то есть формально

%0Ag_%7B%5C%2Cij%7D%20%3D%20%5Cdelta_%7B


В этом случае совпадают выражения для тензора инерции и ковариантного тензора инерции

%0AI_%7B%5C%2Ckl%7D%20%3D%20%5Cint%5Clim


Поэтому в декартовых координатах симметричен и тензор инерции, и для него справедливы вышеперечисленные свойства, связанные с собственными значениями и собственными векторами. В декартовых координатах тензор инерции представляется матрицей

%0A%5Cmathbf%20I%20%3D%20%0A%5Cbegin%7Bb


или

%0A%5Cmathbf%20I%20%3D%20%0A%5Cbegin%7Bb


где диагональные элементы называют осевыми моментами инерции, а прочие элементы — центробежными моментами инерции.
Материал данной статьи — авторская работа. В литературе господствует подход к изучению тензора инерции связанный с использованием декартовых координат. Нами же рассмотрен самый общий подход и мы убедились, что свойства тензора инерции и теорема Гюйгенса-Штейнера могут быть получены в произвольных координатах. Все приведенные в статье формулы переходят в общеизвестные из курса теоретической механики при использовании декартовой метрики.

Upd: Нашел упоминание о ковариантном тензоре инерции на каком-то богом забытом сайте. Что ж, это подтверждает идею, использованную мной в данной статье

Продолжение следует…

© Habrahabr.ru