Формула плоского годографа точки звуковой волны в изотропной равномерно движущейся среде24.02.2024 20:45

Известно, что Рэлей получил уравнение звукового луча в вертикальной плоскости в виде ценной линии, полагая, что скорость ветра возрастает с высотой по линейному закону. Результат был получен, исходя из преломления луча на границе двух слоев с различными скоростями. Здесь будет рассмотрено аналитическое решение вроде бы более простой задачи для постоянного приземного ветра, у которого нет изменения скорости в горизонтальной плоскости. Названная задача решается на основе акустической геометрии.

В.А. Крюков

VAK_53@mail.ru

Известно, что Рэлей получил уравнение звукового луча в вертикальной плоскости в виде ценной линии, полагая, что скорость ветра возрастает с высотой по линейному закону. Результат был получен, исходя из преломления луча на границе двух слоев с различными скоростями. Здесь будет рассмотрено аналитическое решение вроде бы более простой задачи для постоянного приземного ветра, у которого нет изменения скорости в горизонтальной плоскости. Названная задача решается на основе акустической геометрии.В следующей готовящейся статье будет рассказано о решении задачи Рэлея методом численного интегрирование годографа вектор–функции точки фронта звуковой волны.

1. Введение

В качестве отправного пункта данной работы сошлёмся на учебник [1], где приведены две следующие диаграммы:

Рис. 1. Распространение акустической волны по отношению к неподвижному наблюдателю Н: а – в неподвижной однородной среде, б – подвижной однородной среде. На Рис. 1а ветер отсутствует, а на Рис. 1б ветер дует слева направо.

Рис. 1. Распространение акустической волны по отношению к неподвижному наблюдателю Н:, а — в неподвижной однородной среде, б — подвижной однородной среде. На Рис. 1а ветер отсутствует, а на Рис. 1 б ветер дует слева направо.

На Рис. 1а показано, что в изотропной среде в отсутствие ветра акустические волны распространяются концентрическими волнами с общим центром в точке зарождения волн. Звуковая волна является сферой или полусферой, если не рассматривать сейсмические волны, но для упрощения рассматривается только сечение сферы горизонтальной плоскостью.

Под акустическим лучом понимается линия тока распространения энергии или давления звуковой волны. Акустические лучи распространяются по прямым направлениям, перпендикулярным к фронтам звуковой волны.

На Рис. 1 б показано, что в изотропной движущейся среде фронт звуковой волны равномерно сдвигается ветром, а т.к. акустические лучи всегда нормальны к фронту, они претерпевают искажения и становятся криволинейными. Из общих соображений, можно сказать, что кривая луча является огибающей радиусов фронтов двигающейся звуковой волны (см. точку Н на Рис. 1 б).

В упомянутом источнике [1] этими общими соображениями, приведенными выше, и ограничиваются. Дается только метод определения «угловой поправки (азимута) на смещение центра волны», что достаточно для практических стрельб, но это не физический закон, по которому распространяется энергия звуковой волны в описанной среде. Попробуем найти закон на уровне конечной формулы.

Автором был проведен поиск литературных источников по рассматриваемой теме. Как правило, например, в источнике [2.], приводятся только качественное описание явления.

Наиболее полный обзор решений задач акустики движущейся среды содержится в работе [3.]. Лорд Релей получил формулу преломления звукового луча в виде ценной линии для линейного изменения скорости ветра в вертикальной плоскости, исходя из преломления луча на границе двух слоев с различными скоростями. Метод Гамильтона в акустике движущихся сред при возрастании скорости ветра с высотой по линейному закону и всюду постоянной скорости звука приводит к уравнению луча в виде окружности вместо ценной линии (!).

Отыскание точного решения основного уравнение акустики движущихся сред, полученного исходя из метода малых возмущений и применения этого метода к уравнениям гидродинамики, для сжимаемой жидкости представляет большие трудности. Очень большие!

Из обобщенных уравнений следует, что при наличии вихревого движения в среде, акустическое возмущение представляет собой движение непотенциальное. Показано, что вихрями в акустике можно пренебречь, если безразмерная завихренность мала по сравнению с безразмерной скоростью, т. е.

|rot u|/ω >> u/c

где ω частота звука. Доказательство этого утверждения дано для малых скоростей (u/с << 1). Переход к геометрической акустике возможен при условии выполнения этого условия.

В нашем случае даже при сильном ветре в диапазоне 10–18 м/с отношение u/с составляет величину порядка 0,05. Поэтому мы вправе проводить поиск решения задачи влияние ветра на звук, используя кинематические методы геометрической акустики по принципу Гюйгенса–Френеля.

Постановка задачи

Для анализа геометрии распространения звуковой волны нарисуем чертеж, показанный на Рис. 2. Подчеркнём, что для простоты будем рассматривать плоский случай, но это не приведет к потере общности решения, т.к. затем результат можно будет распространить на трехмерный случай.

Рис. 2. Точки линии тока акустической волны.

Рис. 2. Точки линии тока акустической волны.

Принятые обозначения элементов на рисунке.

0 — начало координат, в котором находится искомый источник, породивший звуковую волну,

S — центр звуковой волны в момент t,

S´ — центр звуковой волны в момент t+Δt,

Ф — произвольная точка фронта волны,

Ф´ — точка перехода точки Ф через время Δt,

r(t) — временная вектор-функция из центра начала координат в точку Ф,

ρф— вектор–радиус фронта звуковой волны в момент t из центра S (под углом φ),

ρ«ф— вспомогательный вектор из центра S′ в точку Ф (под углом ψ),

ρs— вектор из начала координат в центр звуковой волны S,

Δρs— вектор смещения центра звуковой волны S в S′ за время Δt,

Δρф — вектор-радиус распространения звуковой волны из точки Ф в точку Ф′.

Приведем условия, наложенные на схему Рис. 2:

по причине изотропной среды c = const во всех точках фронта волны звука;
скорость перемещения среды равнаw; перемещение среды происходит вдоль оси x вправо;
начало отчета скалярного времени t совпадает с моментом возникновения звуковой волны;
пунктирными линиями изображен движущейся фронт звуковой волны в моменты t и t+Δt;
расстояние между центрами S и S´ равно wΔt;
при смещении фронта угол φ точки звуковой волны не меняет своего значения в двух случаях: если его начальное значение равно 0°или ±180°.
точка Ф переходит в точку Ф´ по принципу Гюйгенса–Френеля: каждая точка фронта является вторичным источником сферических волн,

Цель данного исследования — нахождение конечного уравнения движения точки Ф, т.е. годографа связанного с ней вектор–функции r(t). Годограф вектор–функции r(t) эквивалентен акустическому лучу учебника [1.].

Из Рис. 2 можно сделать вывод, что формула вектор–функции r(t) равносильна двум скалярным уравнениям на плоскости xy:

$x = r(t)cos(\phi(t))+ \rho_S(t)\hspace{2cm}\text{(1)}$

$y = r(t)sin(\phi(t))$

Как будет показано далее параметрические функции r (t) и ρs (t) довольно простые. Главным предметом изучения будет являться закон изменения функции ϕ (t).

Кинематический анализ движения точки фронта волны звука

Рис. 3. детализирует кинематические характеристики точки Ф фронта звука, а именно скорости и ускорения. Дальнейшие выкладки совпадают с общеизвестными формулами дифференциальной геометрии, но мы их выведем, чтобы уяснить их физический смысл.

Рис. 3. Скорость и ускорение в точке годографа

За время Δt точка годографа переместится в позицию Ф´. Направление звуковой волны в точке Ф задается вектором ρф, являющимся радиусом окружности фронта звуковой волны. Приращение вектора–функции в точке Ф Δρф задается приращением параметра Δt.

Рассмотрим производную от вектор–функции r(t):

$r^{'} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Первая производная вектор–функции является вектором и совпадает со скоростью звуковой волны cф в точке Ф. По модулю |cф| = c.

Это означает, что движение точки волны вдоль годографа является равномерным. В точке Ф кривая годографа имеет кривизну, т.к. градиент годографа меняет свое направление за счет приращения скорости cф´-cф. Изменение направления распространения звука указывает на вторую производную a годографа r(t), перпендикулярную скорости cф. Таким образом, моментальное движение в точки Ф можно уподобить равномерному движению по соприкасающейся окружности радиуса R с центростремительным ускорением a.

О текущем моменте можно сказать, что вектор ускорения a перпендикулярен вектору скорости, направлен вдоль фронта звуковой волны в сторону моментального центра вращения.

Таким образом, линию звукового луча можно представить не только как огибающую радиус–векторов точки фронтов звука, на что было показано ранее на Рис. 1, но и как огибающую семейства мгновенных соприкасающихся окружностей, поскольку касательные к этим окружностям совпадают с радиус–векторами фронта звуковой волны.

Теперь мы имеем ясное представление о геометрической акустике годографа r(t).

Решение

Из Рис. 3, получим функциональные зависимости для ускорения aи радиусаRв точке Ф.

Радиус R окружности с центром Ц на Рис. 3 находится во формуле:

$R=\frac{cΔt}{ψ-φ} (2)$

Из-за малости значения разности углов ψ-φ при Δt, стремящемся к 0, произведем замену разности углов на sin разности этих углов.

$R=\frac{cΔt}{sin(ψ-φ)} \text{ (3)}$

Для нахождения R нам необходим будет sin разности углов ψ, φ векторов скорости сф» и сф, которые параллельны вектор–радиусам ρ»ф и ρф.

Воспользуемся известной формулой из тригонометрии:

$sin(ψ-φ)= sinψ cosφ - cosψ sinφ\text{ (4)}$

Проведем подготовку нахождения sin ψ, cos φ, cos ψ и sin φ через скалярные произведения векторов ρ»ф , ρф и ρs. Из Рис. 2 определяем координаты векторов ρs, ρфи ρ»ф. Модули векторов выразим через их физические сущности.

Вектор ρs направлен по оси x.

ρs =(wt, 0) |ρs|=wt (5)

где w — алгебраическая величина прямолинейной и постоянной скорости ветра,

t — временной параметр

Вектор ρф из точки S к точке Ф фронта звуковой волны и вектор ρ»ф из точки S´ к точке фронта Ф.

ρф = (x — wt, y) → $\hspace{2cm}|ρ_{ф}|= \sqrt{(x-wt)^{2}+y^{2}} = ct\hspace{1 cm}\text{(6)}$

ρ»ф = (x — w (t+Δt), y) → $\hspace{1 cm}|ρ^{'}_{ф}|= \sqrt{(x-w(t+Δt)^{2}+y^{2}}$

Найдем cos φ, и cos ψ через скалярные произведения этих векторов:

cos ψ = ρs·ρ»ф / |ρs||ρ«ф|

cos φ = ρs·ρф / |ρф||ρs|

$cos\psi = \frac{x-w(t+Δt)}{\sqrt{(x-wt)^{2}+y^{2}}}$

$cos\phi = \frac{x-wt}{ct}$

Для нахождения sin1 воспользуемся общей формулой из тригонометрии $sin\beta = \sqrt{1-cos^{2}\beta}$ и формулами (6):

$sin\psi = \frac{y}{\sqrt{(x - w(t + \Delta t)^2 + y^2}} \hspace{1 cm}\text{(7)}$

$sin\phi = \frac{y}{ct}$

Получили ожидаемый результат, согласующийся с физическим смыслом. Подставляем найденные выражения для sin и cos в (4). После приведения одинаковых членов получаем:

$sin(\psi-\phi) = \frac{yw\Delta t}{\sqrt{(x - w(t + \Delta t)^2 + y^2}}\hspace{1cm}\text{(8)}$

Подставляем найденное выражение для sin разности углов в формулу (3) и возьмем предел выражения при Δt, стремящимся к 0, учитывая зависимость (6):

$R = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{c\Delta tct\sqrt{(x - w(t + \Delta t))^2 + y^2}}{yw\Delta t} =\frac{c^3t^2}{ywt}\hspace{1cm}\text{(9)}$

Из формулы (9) следует, что с увеличением t кривизна годографа уменьшается. Модуль мгновенного центростремительного ускорение a находится из величины R по формуле:

$a = \frac{c^2}{R}\hspace{2cm}\text{(10)}$

Подставляем в (10) найденное выражение (9).

$a = \frac{yw}{ct^2}$

Рассмотрев кинематические зависимости звуковой волны, перейдем непосредственно к нахождению искомых компонентов годографа r(t). Напишем формулу первой производной годографа, исходя из её геометрического смысла.

$\frac{dy}{dx} = tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}\hspace{2cm}\text{(11)}$

Воспользуемся выше найденными выражениями для тригонометрических функций cos φ, sin φ.

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{ct}\frac{ct}{x-wt}=\frac{y}{x-wt}\hspace{2cm}\text{(12)}$

Из уравнений (11) и (12) получим искомую функцию, связывающую координаты годографа:

$y = tg\phi(x-wt)\hspace{2cm}\text{(13)}$

Эта формулу можно было получить непосредственно из Рис. 2, но нам ещё пригодятся результаты промежуточных выкладок.

Остается только получить окончательную формулу для tgφ. Из формулы (2) в дифференциальном виде, подставив значение R из формулы (9) и значение y из формулы (7). Получаем выражение:

$\frac{w}{c}\frac{dt}{t} = \frac{d\phi}{sin\phi}\hspace{2cm}\text{(14)}$

Интегрируем (14):

$\frac{w}{c}\ln t = ln|tg\frac{\phi}{2}|-ln|C|\hspace{2cm}\text{(15)}$

, где C — постоянной интегрирования.

Логарифм переменной t взят не по модулю, т.к. по условию задачи t>0.

Освободимся от логарифмов:

$ln\frac{\phi}{2} = t^\frac{w}{c}|C|\hspace{2cm}\text{(16)}$

Из формулы (16) следует, что угол φ с увеличением t должен монотонно изменяться: увеличиваться при φ > 0 или уменьшаться φ < 0. Физический смысл C будет прояснен ниже.

Выражение (16) дает неопределенность в точке t=0 для начального значения угла C. Начальная нулевая точка в акустике всегда является особой! Можно допустить следующую гипотеза: при t→+0 луч волны становится прямолинейным и радиус кривизныгодографаустремляется к ∞. Поэтому и не удается задать начальное значение C при t=0.

У звуковой волны начальным условием для нахождения постоянной интегрирования C удобно взять временную точку t=1. Уравнение (16) преобразуется в формулу (17).

$C =|tg\frac{\phi_1}{2}|\hspace{2cm}\text{(17)}$

При условии неподвижной среды w=0 выражение (16) преобразуется до простейшего вида:

$\phi=\phi_1=const$

Постоянный угол φ1 тождественен углу φ при t=1. Если φ1=0, то годограф направлен по ветру. Если φ1=±180, то годограф направлен против ветра. В обоих случаях годограф вырождается в прямую линию.

Из наблюдения, что годограф точки звуковой волны не пересекает ось абсцисс, параллельную направлению ветра, следует, что значения угла φ ограничены или диапазоном (0°, 180°) или диапазоном (-180°, 0°), причем tgφ1 и tgφ будут всегда иметь одинаковый знак. Поэтому преобразуем формулу (16), удалив операции взятия по модулю левой и правой части уравнения.

$ln\frac{\phi}{2} = t^\frac{w}{c}ln\frac{\phi_1}{2}\hspace{2cm}\text{(18)}$

Для определения компонентов годографа из tg φ/2 получаем sin φ и cos φ:

$sin\phi = \frac{2tg\frac{\phi}{2}}{1+tg^{2}\frac{\phi}{2}}\hspace{2cm}\text{(19)}$

$cos\phi = \frac{1-tg^2\frac{\phi}{2}}{1+tg^{2}\frac{\phi}{2}}$

Вернувшись к скалярным компонентам годографа (1) в общем виде, замечаем, что все ранее неизвестные составляющие параметрических уравнений теперь определены:

$x = ct * cos\phi+wt$

$y = ct * sin\phi$

5 Результаты проведённого численного эксперимента проверки методики

Принятые исходные данные:

Ветерсильный w=18 м/c, чтобы визуально наблюдать кривизну.
Начальный угол φ1 = ±15°; ±60°; ±115; ±170°.
Время распространения волны t = 21 c

Для тестирования предлагаемой методики в программе на Python была проведена отрисовка годографов, и в таблицах Excel перепроверены данные. График годографов представлен на Рис. 4.

Рис. 4. Годографы с начальными углами φ1 = ±15°; ±60°; ±115; ±170°.

Рис. 4. Годографы с начальными углами φ1 = ±15°; ±60°; ±115; ±170°.

При t=21с угол φ претерпевает изменение:

φ1=±15° → φ=±17,64°

φ1=±60° → φ=±68,47°

φ1=±115° → φ=±123,22°

φ1=±170° → φ=±171,51°

Ошибка расчета координаты источника звука по азимуту со всех ракурсов при t=21с составляет wt = 378 м, что, согласуется с источником [1].

Заключение.

На базе геометрической акустики получена конечная формула закона распространения энергия звуковой волны в изотропной равномерно движущейся среде.

Выведенная формула справедлива для концентрической волны в горизонтальной плоскости. Во введение было указано, что звуковая волна имеет в пространстве форму близкую к полусфере. Переход к 3-ему измерение высоты возвращает нас к задаче Релея в вертикальной плоскости.

Для решения задачи в вертикальной плоскости можно было бы попробовать вывести конечные математические формулы для неоднородной среды, как описано в [3.], но мы этого делать не будем. Мы сделаем по-другому, а именно, напишем программу численного интегрирования годографа точки звуковой волны, что позволит в дальнейшем более свободно задавать описание среды, например, профиль возрастания ветра с высотой. В следующей статье будет рассказано о программе расчета влияния ветра на звук в вертикальной плоскости.

Чтобы обобщить найденные решения на трехмерный случай достаточно будет воспользоваться принципом суперпозиции отдельных движений в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Литература

Артиллерийская звуковая разведка, изд. МО, М., 1993
В.А. Красильников, Звуковые волны в воздухе, воде и твердых телах, ГИТТЛ, М., 1954
Чернов Л.А. »Акустика движущейся среды. Обзор», Акустический журнал, 1958, 4, выпуск 4, с. 299–306
Лорд Релей, Теория звука, т.1–2, изд. ГИТТЛ, М., 1956.