Аппроксимация числа Пи с помощью множества Мандельброта06.08.2016 20:33

Я всегда говорил своему другу, что математика со своими изящными абстракциями обладают той магической силой, потенциал которой до сих пор полностью не раскрыт. Сегодня я хочу поговорить о том, как можно приблизить число Пи с помощью множества Мандельброта.

Пару слов о множестве

На самом деле на Хабре куча статей, описывающие множество Мандельброта (далее, множество М), рассматривающие его свойства, историю и удивительную красоту, подкрепляя всё это красочными картинками. Мне бы не хотелось останавливаться на его определении и прочих деталях, а сразу перейти к делу. Однако в силу того, что оно является центральным субъектом данной статьи, я все же освежу вашу память.
Множество М — это множество всех комплексных чисел с, для которых функция при ее итерации с  ограничена. Настолько просто.
На практике мы применяем следующую теорему: если функция (вышеприведенная) в ходе итерации превосходит значение 2, то она 100% не ограничена. Поэтому, определить множество можно так:

Я не буду затрагивать тему визуализации, туда мы сегодня копать не будем.

Число Пи?

Действительно, каким-таким образом?

Все то, что покрыто черным на картинке принадлежит множеству М.

Возьмем «координату соприкосновения двух частей» множества c = -0.75 + ix (где x ∈ ℚ). Проверим её принадлежность ко множеству М: начнем итерировать функцию n-раз от нуля и проверять, превосходит ли полученное значение 2. Если да, то функция разошлась, и значение с не принадлежит множеству при данном n. Иначе — принадлежит.

Именно. Если поставить запятую на нужном месте, цифры напоминают число Пи.

Наверное, совпадение

Не будем заморачиваться с комплексной частью и возьмем число c = 0.25. Оно принадлежит множеству при бесконечно большом количестве итераций. Поэтому, будем «приближаться» к этой точке справа: возьмем c = 0.26, проверим его; c = 0.2501, проверим его, и т. д.

Последовательность колеблется между двумя значениями, однако эхо числа Пи (поставив запятую в нужное место) никуда не исчезло.

Немного истории

Само множество М, названное в честь математика Бенуа Мандельброта — совсем недавное открытие. Бенуа даже выступал на TEDx, говоря в том числе и о нем.
В 1991 Дейв Болл изучал, действительно ли «соприкосновение двух частей множества» М около c = -0.75 «бесконечно тонко». В ходе своего исследования он и обнаружил то, о чем мы сейчас говорим.

И все-таки, наверное, совпадение

Попытаемся понять, что происходит: действительно ли мы получаем число Пи или это какое-то иное трансцендентное число.
Все это будем делать вокруг точки c = 0.25 (просто в силу отсутствия у него комплексной части — так легче).

Рассмотрим рекурсивную функцию . При ее итерации от нуля заметим, что она очень медленно стремится к точке x = 0.5.

Наглядно

Чтобы не дать ей «застрять» на этом значении, мы подвинем данную функцию на ε единиц вверх (ε бесконечно мало, не равно нулю). Тогда она примет вид .
Данная функция медленно стремится к точке x = 0.5, а после того, как проходит её, быстро убегает в бесконечность.

Будем копать дальше.
Пусть x = y + 0.5. Наша задача — найти ноль.
Делая замену в исходной функции, получим:
Взяв в качестве ε любое малое значение, проитерируем функцию от нуля:

Видим, что она достаточно плавно и медленно возрастает возле нуля. Исходя из этого, мы в праве предположить, что разность (n+1)-го и n-го значений функции близка к её производной: .
Учитывая это, наша исходная функция примет вид: , что является простейшим дифференциальным уравнением первого порядка. Решая его (например, методом разделения переменных), получим:
Вспоминаем нашу цель — поиск нуля. Данное выражение равно нулю только в двух случаях: либо квадратный корень из ε равен нулю — невозможно по определению, либо тангенс равен нулю. Пренебрегая константой C: . Это подтверждает то, что мы сегодня увидели:

Видно, что множитель √ε ставит ту самую запятую в нужное место.

Заключение

Построение числа Пи данным методом является, наверное, самым неэффективным способом: нужно проделать 314160 итераций для того, чтобы получить 3,14160. Кроме того, метод не обладает высокой точностью в силу больших погрешностей вычислений.
Однако нам удалось соединить две, казалось бы, несоединимые точки: фрактал и отношение длины окружности к длине её диаметра.

Комментарии (1)

• middle

  6 августа 2016 в 18:58

  0

  ↑

  ↓

  > На практике договорились: если функция (вышеприведенная) в ходе итерации превосходит значение 2, то она 100% не ограничена.

  Это не «договорились», это теорема.