[Перевод] Топ 100+ возможностей работы с синусом в Wolfram|Alpha, или Краткий обзор математических возможностей и синтаксиса Wolfram|Alpha
Перевод поста Майкла Тротта (Michael Trott) и Эрика Вайсштайна (Eric W. Weisstein) «Michael Trott & Eric W. WeissteinThe Top 100+ Sines of Wolfram|Alpha», существенно расширяющий вопросы, затронутые авторами.Скачать перевод в виде документа Mathematica, который содержит весь код использованный в статье, можно здесь (архив, ~12 МБ).Сервис Wolfram|Alpha может выполнять огромное количество всевозможных вычислений и математические вычисления являются одной из его узких специальностей. В самом деле, используя мощь вычислительных возможностей системы Mathematica, с помощью которой создана система Wolfram|Alpha, сервис Wolfram|Alpha может решать большой спектр задач связанных с математическими функциями, начиная от самых простых и заканчивая дьявольски сложными.
Чтобы прояснить то, что мы подразумеваем под «большим спектром задач» (о котором мы действительно так думаем), давайте возьмем в качестве примера такую непритязательную математическую функцию, как синус. Ниже мы привели список, который раскрывает 93 возможности того, что Wolfram|Alpha может делать с синусом, но в итоге мы добавили еще сверх того некоторое количество бонусных возможностей, перед включением которых в пост мы не могли устоять.
Давайте начнем с того, что просто введем в Wolfram|Alpha запрос sin (x), т. е. просто функцию синус от аргумента x, как она есть. Ниже представлено то, что сервис Wolfram|Alpha выдаст нам в качестве результата на этот запрос:
Для тех, кто знает о том, что такое действительные числа, большинство из приведенных выше результатов относится к действительным значениям аргумента х. С другой стороны, если вы будете использовать другой вид аргумента у функции синус, т. е. введете запрос, скажем, sin (z) или sin (х+iу), то Wolfram|Alpha предположит что вы хотите работать в области комплексных чисел (комплексных переменных) и выдаст вам другой набор графиков и результатов, как это показано на рисунке ниже:
Конечно, вы можете попросить Wolfram|Alpha вычислить каждый из вышеупомянутых результатов расчетов по отдельности, например,
• Глобальный максимум функции sin (х).Запрос в Wolfram|Alpha: global maxima sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Вы также можете построить построить множество графиков, задав соответствующие запросы:
• Построить графики sin (x), sin (2x), sin (3x)Запрос в Wolfram|Alpha: Plot sin (x), sin (2x), sin (3x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Построить графики sin (x), sin (sin (x)), sin (sin (sin (x))), sin (sin (sin (sin (x)))), sin (sin (sin (sin (sin (x)))))Запрос в Wolfram|Alpha: Plot sin (x), sin (sin (x)), sin (sin (sin (x))), sin (sin (sin (sin (x)))), sin (sin (sin (sin (sin (x)))))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График изолиний поверхности sin (x/|y| — y/|x|) при x = -π до π и y = -π до πЗапрос в Wolfram|Alpha: Contourplot sin (x/|y| — y/|x|) from x = -pi to pi and y = -pi to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График поверхности sin (x — y) / sin (x + y) при x = -2π до 2π и y = -2π до 2πЗапрос в Wolfram|Alpha: Plot3d sin (x — y) / sin (x + y) from x = -2pi to 2pi and y = -2pi to 2pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Полярный график r = 1 + sin (100 θ)Запрос в Wolfram|Alpha: Polar plot r = 1 + sin (100 theta)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Результат последнего запроса, полученный в Wolfram|Alpha имеет вид:
Вы также можете с легкостью построить более сложные выражения, зависящие от функции синус, например:
• График функции {(1/{1/sin (x)}}, где {y} — дробная часть числа y.Запрос в Wolfram|Alpha: Plot frac (1/frac (1/sin (x)))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График функции sin (x!)! при x = -3 до 3Запрос в Wolfram|Alpha: Plot sin (x!)! from x = -3 to 3
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Изобразить графически члены последовательности 1, sin (1), sin (sin (1)), … (всего 101 член)Запрос в Wolfram|Alpha: Plot nestlist (sin, 1., 100)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График параметрически заданной кривой x=max (sin (t), cos (pi t)), y=max (cos (t), sin (pi t))} t = 0 до 100Запрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot {max (sin (t), cos (pi t)), max (cos (t), sin (pi t))} from t = 0 to 100
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Графики поверхности действительной и мнимой частей функции sin (sin (x + i y)) при x =-π до π и y =-π до πЗапрос в Wolfram|Alpha: Plot3d sin (sin (x + i y)) from x=-pi to pi and y =-pi to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Полярный график функции r = min (sin (x), sin (sqrt (2) x), sin (sqrt (3) x), sin (sqrt (5) x)) при x = 0 до 100 πЗапрос в Wolfram|Alpha: Polar plot min (sin (x), sin (sqrt (2) x), sin (sqrt (3) x), sin (sqrt (5) x)) from x = 0 to 100 pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Полярный график функции r = exp (sin (theta)) — 2 cos (4 theta) + sin^5(theta/12 — pi/24)Запрос в Wolfram|Alpha: Polar plot r = exp (sin (theta)) — 2 cos (4 theta) + sin^5(theta/12 — pi/24)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График трехмерной параметрически заданной поверхности (тора) {sin (s + pi/2) + sin (s + pi/2)sin (t + pi/2)/2, sin (s) + sin (s)sin (t + pi/2)/2, sin (t)/2} при s = 0 до 2π и t = 0 до 2πЗапрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot3D {sin (s + pi/2) + sin (s + pi/2)sin (t + pi/2)/2, sin (s) + sin (s)sin (t + pi/2)/2, sin (t)/2} from s = 0 to 2pi and t = 0 to 2pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
А также можете использовать синтаксис Mathematica для задания многих выражений и их обработки:
• График плотности потока некоторой векторной величины {Re (sin (x + iy)), Im (Sin (x + iy))}Запрос в Wolfram|Alpha: StreamDensityPlot[{Re[Sin[x + I y]], Im[Sin[x + I y]]}, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, ColorFunction → «ThermometerColors»]
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График семейства функций sin (kx) при k=0,1,2,3,…,30 пурпурного цветаЗапрос в Wolfram|Alpha: Plot[Table[Sin[k x], {k, 0, 30}],{x, 0, Pi/2}] in purple
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Мы можем вычислять какие-то конкретные значения функции синус, скажем
• sin (π/88)Запрос в Wolfram|Alpha: sin (pi/88)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Или, наоборот, ввести число 0.0356923338389804557600… и посмотреть результат:
…вы можете заметить, что Wolfram|Alpha выдает для этого числа его аналитическое приближение в виде функции синус от аргумента x = π/88 (первое из трех представленных возможных аналитических форм представленных выше в разделе «Possible closed forms»). Если вы заинтересовались этим, то можно было бы попросить Wolfram|Alpha предоставить список всех «особенных» значений аргументов функции синус и ее значений при этих значениях аргумента сразу. Одним из особенно красивых примеров такого типа является представление значения sin (π/17) через радикалы, которое демонстрирует один из классических результатов, который был получен великим математиком Гауссом в день своего 17-летия.
Можно спросить у Wolfam|Alpha имеют ли какие-то выражения определенные свойства или форму:
• Является ли число sin (2/3) алгебраическим? Запрос в Wolfram|Alpha: Is sin (2/3) algebraic?
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Представление числа sin (pi/(2^4 3 5)) через радикалыЗапрос в Wolfram|Alpha: Toradicals (sin (pi/(2^4 3 5)))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно искать периоды различных функций:
• Период функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Period of sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Период функции sin (x) + 2sin (2x) + 3sin (3x)Запрос в Wolfram|Alpha: Period of sin (x)+2sin (2x)+3sin (3x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
А также находить максимумы и минимумы функций, содержащих функцию синус:
• Найти минимум функции sin (x) + |x|Запрос в Wolfram|Alpha: Minimize sinx + |x|
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Найти максимум функции (sin (x)/x)^2 находящийся между точками π и 4πЗапрос в Wolfram|Alpha: Maximize (sin (x)/x)^2 between pi and 4 pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Мы также можем построить как двумерные, так и трехмерные фигуры Лиссажу:
• График параметрически заданной двумерной кривой {sin (11t), sin (13t)}Запрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot {sin (11t), sin (13t)}
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• График параметрически заданной трехмерной кривой {sin (2t), sin (3t), sin (5t)} from t = 0 to 2piЗапрос в Wolfram|Alpha: Parametric plot {sin (2t), sin (3t), sin (5t)} from t = 0 to 2pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Результат запроса Parametric plot {sin (11t), sin (13t)} о котором говорилось выше:
Можно не только строить кривые, но и вычислять их кривизну:
• Кривизна параметрически заданной кривой {sin (3t), sin (4t)} в точке t = 1Запрос в Wolfram|Alpha: Curvature of {sin (3t), sin (4t)} at t = 1
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Найти координаты точек перегиба кривой:
• Точки перегиба кривой sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Inflection points sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Или длину дуги кривой:
• Длина дуги параметрически заданной кривой {sin (t), sin (2t)} при t = 0 до πЗапрос в Wolfram|Alpha: Arc length {sin (t), sin (2t)} from t = 0 to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Длина дуги полярной кривой r = phi sin (phi) при phi = 0 до 12πЗапрос в Wolfram|Alpha: Arc length r = phi sin (phi) from phi = 0 to 12pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат, который выдает Wolfram|Alpha на предыдущий запрос о длине кривой, заданной в полярной системе координат:
Можно найти точки возврата некоторой функции:
• Точки возврата функции |sin (x)|Запрос в Wolfram|Alpha: Corners |sin (x)|
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Или проверить функцию на периодичность:
• Периодична ли функция sin (4x + pi/3)? Запрос в Wolfram|Alpha: Periodicity sin (4x + pi/3)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Есть множество математических формул, которые могут потребоваться. Рассмотрим несколько конкретных примеров:
• Представить в виде суммы sin (x)^10Запрос в Wolfram|Alpha: Trig reduce sin (x)^10
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Представить в виде суммы sin (10x)Запрос в Wolfram|Alpha: Trig expand sin (10x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Точно также можно получить основные формулы тригонометрии:
• Формула половинного угла для функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Half-angle formulas sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Формула двойного угла для функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Double-angle formulas sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Формулы синуса от суммы (разности) двух и более аргументовЗапрос в Wolfram|Alpha: Addition formulas sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат запроса о формуле двойного угла для синуса:
Wolfram|Alpha также знает множество всевозможных представлений функций через другие функциональные конструкции:
• Представление синуса в виде бесконечного произведенияЗапрос в Wolfram|Alpha: Product representations sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Представление синуса в виде пределаЗапрос в Wolfram|Alpha: Limit representations sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Представление синуса через гипергеометрические функцииЗапрос в Wolfram|Alpha: Sinx in terms of hypergeometrics
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Вы можете спросить у Wolfram|Alpha о связи функции синус с другими функциями:
• Представление функции sin (x) через экспоненциальную показательную функциюЗапрос в Wolfram|Alpha: Sinx in exponentials
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Связи между sin (x) и cos (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Relations between sin (x), cos (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Связи между sin (x) и tg (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Relations between sinx, tanx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Также можно найти связь с обратной функцией и другими функциями, выраженными через синус:
• Связи с обратной функцией для sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Relations with inverse function sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Функции, которые имеют собственные имена, выраженные через sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Named functions expressed through sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат предыдущего запроса, выдаваемый Wolfram|Alpha:
Вы можете решать уравнения и неравенства, содержащие функцию синус:
• Найти все решения уравнения cosx + sinx = tanxЗапрос в Wolfram|Alpha: Find all solutions for cosx + sinx = tanx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Решить неравенство cos (x) > 2sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Solve cos (x) > 2sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно доказывать (проверять верность) тригонометрических тождеств, включающих в себя функцию синус:
• Проверить тождество sin (x + y) sin (x — y) = sin^2x — sin^2yЗапрос в Wolfram|Alpha: Verify: sin (x + y) sin (x — y) = sin^2x — sin^2y
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно искать точки разрыва и полюсы функциональных выражений, содержащих синус:
• Точки разрыва функции x / sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Discontinuities x / sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Полюсы функции x / sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Poles x / sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно продифференцировать функцию синус:
• Найти значение шестой производной функции x sin (2^x) при x=0Запрос в Wolfram|Alpha: Sixth derivative of x sin (2^x) at x = 0
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Найти n-ю производную функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: d^n / dx^n sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно находить конечные суммы:
• Найти сумму sin (kx) при k = 1 до nЗапрос в Wolfram|Alpha: Sum sin (kx) for k = 1 to n
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
И, безусловно, также легко можно находить разнообразные интегралы, содержащие синус:
• Найти интеграл от функции sin (x) по переменной х в пределах от 0 до πЗапрос в Wolfram|Alpha: Integrate sin (x) dx from x = 0 to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Найти неопределенный интеграл от функции sin (x^3)^3 по xЗапрос в Wolfram|Alpha: Integrate sin (x^3)^3 dx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Применить формулу интегрирования по частям к интегралу с подынтегральной функцией cos^2(x) sin^4(x)Запрос в Wolfram|Alpha: Integrate by parts cos^2(x) sin^4(x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Среднее квадратическое значение функции sin (4x+pi/3)Запрос в Wolfram|Alpha: Root mean square sin (4x+pi/3)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат запроса о интегрировании по частям (см. выше), который выдает Wolfram|Alpha:
Вы можете получить списки формул на основе интегралов, сумм, рядов и произведений, которые содержали бы в себе функцию синус:
• Конечные суммы, содержащие синусЗапрос в Wolfram|Alpha: Finite sums containing sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Бесконечные суммы, содержащие синусЗапрос в Wolfram|Alpha: Infinite sums containing sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Произведения, содержащие синусЗапрос в Wolfram|Alpha: Products containing sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Неопределенные интегралы, содержащие синусЗапрос в Wolfram|Alpha: Indefinite integrals containing sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Определенные интегралы, содержащие синусЗапрос в Wolfram|Alpha: Definite integrals containing sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно найти разнообразные интегральные преобразования функции синус:
• Преобразование Фурье функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Fourier transform of sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Преобразование Лапласа функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Laplace transform of sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Преобразование Гильберта функции of sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Hilbert transform of sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
А также можно вычислять разнообразные пределы:
• Предел при x стремящемся к 0 функции ln (2 + sqrt (arctan (x)*sin (1/x)))Запрос в Wolfram|Alpha: Limit as x goes to 0 of ln (2 + sqrt (arctan (x)*sin (1/x)))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Предел sin (x)/x при x → 0Запрос в Wolfram|Alpha: Lim sin (x)/x as x → 0
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат запроса о поиске предыдущего предела, который выдает Wolfram|Alpha:
Можно получить разложение функции синус в ряд:
• Найти разложение функции sin (x) до десятого порядка малости в окрестности точки x=0Запрос в Wolfram|Alpha: Series of sin (x) to order 10
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Найти сумму ряда Тейлора бесконечного порядка в аналитическом виде:
• Просуммировать частичные суммы ряда Тейлора функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: Summed truncated Taylor series of sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Или получить аппроксимацию Паде функции синус:
• [5/5] аппроксимация Паде функции sin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: [5/5] pade of sin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Или же можно упростить сложные выражения, которые содержать в себе синус:
• Упростить sin (2 arctan (3x) + pi)Запрос в Wolfram|Alpha: Simplify sin (2 arctan (3x) + pi)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат запроса о упрощении тригонометрического выражения, рассмотрено выше, который выдает Wolfram|Alpha:
Также легко можно найти разложение функции в ряд Фурье по синусам:
• Разложение функции unitstep (x) в ряд Фурье по синусамЗапрос в Wolfram|Alpha: Fourier sin series unitstep (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Функция синус имеет множество смежных функций и обобщений, которые включают, но не ограничиваются только ими, скажем следующие:
• haversin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: haversin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• versin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: versin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• qsin (x)Запрос в Wolfram|Alpha: qsin (x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Вы можете использовать функцию синус в теории вероятностей, скажем, можно найти математическое ожидание случайной величины sin (x), если случайная величина x распределена нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1:
• Математическое ожидание sin (x) если х имеет стандартное нормальное распределениеЗапрос в Wolfram|Alpha: E (sin (x)) where x ~ N (0,1)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат запроса о значении математического ожидания выражения sin (x), рассмотренного выше, который выдает Wolfram|Alpha:
Мы можем найти решения дифференциальных уравнений, содержащих синус:
• y» + sinx y = 0Запрос в Wolfram|Alpha: y» + sinx y = 0
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• y » — ⅓ y» + sin x y^3 = 0Запрос в Wolfram|Alpha: y» — ⅓ y» + sin x y^3 = 0
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• cos (x) dx + sin (y) dy = 0Запрос в Wolfram|Alpha: cos (x) dx + sin (y) dy = 0
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Можно вычислить Вронскиан системы функций, которая содержит синус:
• Вронскиан системы функций {cos (x), sin (x)}Запрос в Wolfram|Alpha: Wronskian ({cos (x), sin (x)}, x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
А также можно найти дифференциальное уравнение, решением которого является заданная функция, зависящая от синуса:
• Найти дифференциальное уравнение для функции sin (x^p)Запрос в Wolfram|Alpha: Differential equation for sin (x^p)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Вы можете работать с теоремой синусов или ее сферическим аналлогом:
• Калькулятор теоремы синусовЗапрос в Wolfram|Alpha: sine law calculator
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
• Теорема синусов в сферической геометрииЗапрос в Wolfram|Alpha: spherical law of sines
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Ниже представлен результат запроса калькуляторе теоремы синусов, рассмотренного выше, который выдает Wolfram|Alpha:
Можно выразить и приблизить значение числа π через значения функции синус:
• Выразить 3.14 через sin (1) и sin (2)Запрос в Wolfram|Alpha: Express 3.14 through sin (1) and sin (2)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
А также получить интерактивную модель функции синус:
• Варьировать параметры a, b, c в выражении Plot[a Sin[b x + c], {x, -3, 3}]Запрос в Wolfram|Alpha: Vary Plot[a Sin[b x + c], {x, -3, 3}]
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Также можно выполнять вычисления на объектах, которые находятся в Интернете, еслии вы просто имеете ссылку на них, например, произведем анализ изображения функции синус, которое взято с сайта The Wolfram Functions Site о функциях Wolfram Research:
• Произвести анализ wolfr.am/OA39R2Запрос в Wolfram|Alpha: Analyze wolfr.am/OA39R2
Ниже представлен результат предыдущего запроса, который выдает Wolfram|Alpha:
Наконец, можно «проиграть» функцию синус:
• Проиграть sin (440 t)Запрос в Wolfram|Alpha: Play sin (440 t)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica):
Мы