[Перевод] Планеты и четвёртое измерение

Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.image

На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление — это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.

Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.Звучит странно –, но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).

Самое интересное в этой работе — такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.

Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.

В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией — это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.

Задача Кеплера

Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет

image

где r — позиция как функция времени, r — расстояние от центра, m — масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии

image

для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.

Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим

m = 1, k = 1, E = -½

Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как

image

а закон сохранения говорит

image

Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы

image

Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.

Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:

image

и

image

Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде

image

А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x, y, z). Точка

(t, x, y, z)

двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно

image

двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке

(1,0,0,0)

Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:

image

и

t''' = -(t' — 1)

Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).

Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.

Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.

Проинтегрировав обе части

image

мы получим

image

для некоего постоянного вектора a. Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a. Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа—Рунге—Ленца.

Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа—Рунге—Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO (4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.

Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты — это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.

Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях — это проекции круговых орбит из n+1 измерений.

Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол — симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.

Математические детали

Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения — сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:

image

Начинаем с сохранения энергии:

image

затем используем

image

чтобы получить

image

Немного алгебры — и получаем

image

Это показывает, что 4-мерная скорость

image

остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).

Следующий шаг — взять уравнение движения

image

и переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с

image

и дифференцируем, чтобы получить

image

Теперь используем другое уравнение для

image

и получаем

image

или

image

поэтому

image

Теперь хорошо бы получить формулу и для r''. Сначала посчитаем

image

а затем продифференцируем

image

Подключим формулу для r», кое-что сократится, и мы получим

image

Вспомним, что закон сохранения говорит

image

а мы знаем, что t' = r. Поэтому,

image

и

image

Получаем

image

Поскольку t' = r, то получается

image

как нам и нужно.

Теперь получим сходную формулу для r'''. Начнём с

image

и продиффиринцируем

image

Подключим формулы для r'' и r'''. Кое-что сокращается, и остаётся

image

Проинтегрируем обе части и получаем

image

для некоего постоянного вектора a. Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a. Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.

Квантовая версия планетарной орбиты — атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan, The ellipse and the atom.

Подробности об истории этой задачи см. у John Baez, Mysteries of the gravitational 2-body problem.

И всё это также имеет отношение к квантовой физике, суперсимметрии и йордановой алгебре!

© Habrahabr.ru