[Перевод] Наследие Якоба Бернулли в Wolfram Language (Mathematica)

97b19bcd5eab4c35a9c9c4b693db7be1.png Перевод поста Олександра Павлыка (Oleksandr Pavlyk), «Jacob Bernoulli«s Legacy in Mathematica».Скачать перевод в виде документа Mathematica, который содержит весь код использованный в статье, а также дополнительные материалы, можно здесь.16 января 2015 г. исполнилось 360 лет со дня рождения Якоба Бернулли.

In[1]:=

jacob-bernoulli-legacy_1.gif

Out[2]=

jacob-bernoulli-legacy_2.png

In[3]:=

jacob-bernoulli-legacy_3.png

Out[3]=

jacob-bernoulli-legacy_4.png

In[4]:=

jacob-bernoulli-legacy_5.png

Out[4]=

jacob-bernoulli-legacy_6.png

Якоб Бернулли стал первым математиком известнейшей семьи Бернулли, к которой принадлежат многие известные математики XVII и XVIII веков.

Математическое наследие Якоба Бернулли очень богато. Он ввел так называемые числа Бернулли (Wiki / MathWorld), нашел решение дифференциального уравнения Бернулли (Wiki / MathWorld), изучал процесс Бернулли (Wiki / MathWorld), доказал неравенство Бернулли (Wiki / MathWorld), вычислил число e (Wiki / MathWorld), а также выявил слабый закон больших чисел (теорема Бернулли) (Wiki / MathWorld).In[5]:=

jacob-bernoulli-legacy_7.png

Out[5]=

jacob-bernoulli-legacy_8.png

Трактат Бернулли Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing — Исскусство предположения) был посмертно опубликован в 1713 г., спустя 8 лет после его кончины, он был написан на латыни, лингва франка своего времени. Она рассматривается как основополагающая работа по теории вероятностей. О ее важности свидетельствует, в частности, то, что она была переведена на французский G. Le Roy в 1801 г. и, недавно, на английский E.D. Sylla в 2005 г.

Ars Conjectandi состоит из 4 частей. Первая часть воспроизводит работу Христиана Гюйгенса De Ratiociniis in Ludo Aleae. (On Reasoning in Games of Chance — О расчётах в азартной игре) с обширными комментариями от Бернулли и подробными решениями пяти проблем Гюйгенса, поставленных в конце работы Гюйгенса с указанием ответов, но без доказательств. В первой части Бернулли также выводит вероятность того, что среди n независимых испытаний будет по крайней мере m успешных, если вероятность успеха в каждом испытании равна p:

jacob-bernoulli-legacy_9.png

Вторая часть «The Doctrine of Permutations and Combinations» (Учение о перестановках и комбинациях) посвящена комбинаторике и изучению фигурных чисел (Wiki / MathWorld), т. е. чисел, которые могут быть представлены в виде набора точек, расположенных на плоскости в форме правильных геометрических фигур:

jacob-bernoulli-legacy_10.png

Именно в этой части Бернулли ввел так называемые числа Бернулли. Он начал с того, что выявил соотношение для биномиальных коэффициентов jacob-bernoulli-legacy_11.png, которое имеет вид:

jacob-bernoulli-legacy_12.png.

In[6]:=

jacob-bernoulli-legacy_13.png

Out[6]=

jacob-bernoulli-legacy_14.png

Бернулли знал, что для фиксированного значения числа m, биномиальный коэффициент jacob-bernoulli-legacy_15.png представляет собой полином от переменной n, а именно jacob-bernoulli-legacy_16.png. Это тождество позволило ему вывести значения сумм степеней натуральных чисел jacob-bernoulli-legacy_17.png. Он получил таблицу результатов для 0≤m≤10.

Для того, чтобы воспроизвести таблицу, полученную Бернулли, создадим функцию, задающую уравнения для сумм степеней натуральных чисел:

In[7]:=

jacob-bernoulli-legacy_18.png

In[8]:=

jacob-bernoulli-legacy_19.png

Out[8]=

jacob-bernoulli-legacy_20.png

In[9]:=

jacob-bernoulli-legacy_21.png

Out[9]=

jacob-bernoulli-legacy_22.png

In[10]:=

jacob-bernoulli-legacy_23.png

Out[10]=

jacob-bernoulli-legacy_24.png

Решая полученную систему уравнений, получим:

In[11]:=

jacob-bernoulli-legacy_25.png

Out[11]=

jacob-bernoulli-legacy_26.png

Бернулли писал, что «Тот, кто внимательно изучил полученную последовательность, может продолжить Таблицу далее без каких либо дополнительных вычислений», заметив, что:

jacob-bernoulli-legacy_27.png

Он отметил, что коэффициенты jacob-bernoulli-legacy_28.png не зависят от n, и могут быть вычислены рекурсивно, если подставить n==1 в уравнение выше.

In[12]:=

jacob-bernoulli-legacy_29.png

Out[12]=

jacob-bernoulli-legacy_30.png

Эти коэффициенты и есть известные числа Бернулли, которые нашли свое применение во множестве областей математики [например, см. обсуждение Why do Bernoulli numbers arise everywhere? (Почему числа Бернулли появляются повсюду?) на сайте mathoverflow.net]:

In[13]:=

jacob-bernoulli-legacy_31.png

Out[13]=

jacob-bernoulli-legacy_32.png

Во второй части своей книги Бернулли вычисляет число возможных перестановок, число перестановок в множестве с повторяющимися элементами, число способов выбора заданных объектов из множества и т. д., которые он позже применяет для вычисления вероятности, как отношения числа благоприятных событий к общему возможному числу событий.

В третьей части Бернулли применяет результаты, полученные в предыдущих двух частях к решению 24-х проблем, связанных с азартными играми. Лейтмотивом всех этих задач является последовательность независимых результатов 0 и 1, которая получила название «процесса Бернулли». Думаю, что 360-летие со дня рождения Якоба Бернулли является отличным поводом для того, чтобы решить его задачи в Mathematica с помощью Wolfram Language.

Например, в задаче 9 требуется найти ожидаемый выигрыш в игре трех игроков. Игроки поочередно берут карты (без замены и возвращения) из колоды в 20 карт, при этом 10 из них фигурные. Когда карты заканчиваются, выигрыш распределяется поровну среди тех игроков, у которых фигурных карт оказалось больше.

Положим, что c1, c2, и c3 — число фигурных карт у каждого игрока, тогда доля выигрыша первого игрока будет равна:

In[14]:=

jacob-bernoulli-legacy_33.png

Предположи, что после того, как колода из 20 карт была таким образом распределена между игроками, получилось так, что первый и второй имеют по 7 карт, а третий — 6. Итоговый вектор распределения фигурных карт между игроками имеет многомерное гипергеометрическое распределение, которое задается в языке Wolfram Language функцией MultivariateHypergeometricDistribution:

In[15]:=

jacob-bernoulli-legacy_34.png

In[16]:=

jacob-bernoulli-legacy_35.png

Out[16]=

jacob-bernoulli-legacy_36.png

In[17]:=

jacob-bernoulli-legacy_37.png

Out[17]=

jacob-bernoulli-legacy_38.png

Эта и другие задачи рассмотрены и решены в приложенном документе (на англ. языке).

В заключительной части трактата Ars Conjectandi обсуждается использование теории вероятностей в решении гражданских, нравственных и экономических вопросов. В этой части Бернулли утверждает, что теория вероятностей отражает наше неполное знание о состоянии мира, и, в отличие азартной игры, где вероятность может быть определена путем нахождения отношения числа благоприятных исходов некоторого опыта к их общему возможному числу, вероятность в «реальной» жизни не может быть априори установлена. Бернулли утверждает, что эти неизвестные вероятности могут быть вычислены на основе результатов, наблюдавшихся в прошлом.

Он доказал слабый закон больших чисел, который утверждает, что наблюдаемая частота успехов в серии из n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из которых равна p, будет неограниченно приближаться к p с неограниченным увеличением количества испытаний. Таким образом, мы можем оценить вероятность с произвольной точностью, взяв достаточное количество испытаний. Таким образом, для любых δ и ε, найдется такое число n (количество испытаний), что

jacob-bernoulli-legacy_39.png

In[18]:=

jacob-bernoulli-legacy_40.png

Out[18]=

jacob-bernoulli-legacy_41.png

Демонстрация «Имитация эксперимента по подбрасыванию монеты и закон больших чисел» (Simulated Coin Tossing Experiments and the Law of Large Numbers), созданная Яном Маклеодом (Ian McLeod) для сайта Wolfram Demonstrations Project, в частности, демонстрирует этот процесс сходимости.

© Habrahabr.ru