[Из песочницы] Практика метапрограммирования на C++: бинарное дерево поиска на этапе компиляции28.01.2017 18:03

94998820a4d14182926c448ff44c6787.pngСоздатели шаблонов в C++ заложили основу целого направления для исследований и разработки: оказалось, что язык шаблонов C++ обладает полнотой по Тьюрингу, то есть метапрограммы (программы, предназначенные для работы на этапе компиляции) C++ в состоянии вычислить всё вычислимое. На практике мощь шаблонов чаще всего применяется при описании обобщенных структур данных и алгоритмов: STL (Standard Template Library) тому живой пример.

Однако, с приходом C++11 с его variadic-шаблонами, библиотекой type_traits, кортежами и constexpr'ами метапрограммирование стало более удобным и наглядным, открыв дорогу к реализации многих идей, которые раньше можно было воплотить только с помощью расширений конкретного компилятора или сложных многоэтажных макросов.

В данной статье будет разработана реализация бинарного дерева поиска времени компиляции: структуры данных, являющейся логическим «расширением» кортежа. Мы воплотим бинарное дерево в виде шаблона и попрактикуемся в метапрограммировании: переносе рекурсивных и не только алгоритмов на язык шаблонов C++.

Содержание


  • Немного теории
  • Разминка: операции с кортежами и превращение числа в класс
  • Бинарное дерево поиска
    • Рекурсивное определение
      • Отношение порядка
    • Высота
    • Обход центрированный (in-order traversal)
    • Поиск
    • Вставка
    • Обход в ширину (breadth-first traversal)
    • Удаление?
  • Применение
  • Что потом?
  • Литература

Немного теории


Для начала вспомним некоторые определения и понятия о структурах данных и алгоритмах. Можно пропустить этот раздел и сразу перейти к деталям реализации, если читатель знаком с основами теории графов и/или представляет, что такое бинарные деревья и как их можно готовить.
Определения и не только:
Свободное дерево (дерево без выделенного корня) или просто дерево — ациклический неориентированный граф.

Дерево с корнем — свободное дерево, в котором выделена одна вершина, называемая корнем (root).

Узлы (nodes) — вершины дерева с корнем.

Родительский узел или родитель узла X — последний узел, предшествующий X на пути от корня R к этому узлу X. В таком случае узел X называется дочерним к описанному родительскому узлу Y. Корень дерева не имеет родителя.

Лист — узел, у которого нет дочерних узлов.

Внутренний узел — узел, не являющийся листом.

Степень узла X — количество дочерних узлов этого узла X.

Глубина узла X — длина пути от корня R к этому узлу X.

Высота узла (height) — длина самого длинного простого (без возвратов) нисходящего пути от узла к листу.

Высота дерева — высота корня этого дерева.

Упорядоченное дерево — дерево с корнем, в котором дочерние узлы каждого узла упорядочены (т.е. задано отображение множества дочерних узлов на множество натуральных чисел от 1 до k, где k — общее количество дочерних узлов этого узла). Простыми словами, каждому дочернему узлу присвоено имя: «первый», «второй», …,»k-тый».

Бинарное дерево (binary tree) — (рекурсивно) либо пустое множество (не содержит узлов), либо состоит из трёх непересекающихся множеств узлов: корневой узел, бинарное дерево, называемое левым поддеревом, и бинарное дерево, называемое правым поддеревом. Таким образом, бинарное дерево — это упорядоченное дерево, у которого каждый узел имеет степень не более 2 и имеет «левый» и/или/либо «правый» дочерние узлы.

Полностью бинарное дерево (full binary tree) — бинарное дерево, у которого каждый узел либо лист, либо имеет степень два. Полностью бинарное дерево можно получить из бинарного добавлением фиктивных дочерних листов каждому узлу степени 1.

Бинарное дерево поиска — связанная структура данных, реализованная посредством бинарного дерева, каждый узел которого может быть представлен объектом, содержащим ключ (key) и сопутствующие данные, ссылки на левое и правое поддеревья и ссылку на родительский узел. Ключи бинарного дерева поиска удовлетворяют свойству бинарного дерева поиска:

если X — узел, и узел Y находится в левом поддереве X, то Y.key ≤ X.key. Если узел Y находится в правом поддереве X, то X.key ≤ Y.key.
Подразумевается, что мы умеем сравнивать ключи (на множестве значений ключа задано транзитивное отношение порядка, т.е. проще говоря операция «меньше») и говорить о равенстве ключей. В реализации без ограничения общности мы будем оперировать строгими неравенствами порядка, используя только операцию »<" и "==", построенную на её основе из соотношения
$inline$x=y\;\Leftrightarrow\;\;!(x
Обход дерева — формирование списка узлов, порядок определяется типом обхода.

Разминка: операции с кортежами и превращение числа в класс


Прежде чем окунуться с головой в рекурсивные дебри и насладиться буйством угловых скобок, поупражняемся в написании метафункций. Далее нам понадобятся функции конкатенации кортежей и функция добавления типа в существующий кортеж: 
template 
struct tuple_concat;

template 
struct tuple_push;

Об операциях над типами:
Разумеется, ни о каких «конкатенации» и «добавлении» типов в «контейнеры типов» речи не идёт. Это общая и важная особенность мира времени компиляции: определенный тип (класс) никаким образом модифицировать уже невозможно, но возможно определить новый (или среди ранее определенных выбрать существующий) тип, имеющий необходимые нам свойства.

Стандарт C++11 вводит заголовочный файл type_traits (как часть библиотеки поддержки типов), содержащий коллекцию полезных метафункций. Все они являются шаблонами структур, и после инстанцирования определяют локально некий тип type или числовую константу value (или ничего, как в случае отключения перегрузки с использованием std::enable_if). Мы будем придерживаться тех же принципов проектирования метафункций.


Первая функция принимает в качестве аргументов шаблона два кортежа, вторая — кортеж и тип, который необходимо добавить в кортеж. Подстановка в качестве аргументов неподходящих типов (например, при попытке сделать конкатенацию int и float) — операция бессмысленная, поэтому базовый шаблон этих структур не определяется (это предотвратит его инстанцирование для произвольных типов), а вся полезная работа делается в частичных специализациях: 
template